Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 712

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 712

y=(−1)[x2]y=(-1)^{[x^2]}
ВыводФункция непрерывна приx∉{±n:n∈N}x\notin\left\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb N\right\}и имеет разрывы первого рода во всех точках x=±nx=\pm\sqrt n.

Решение

Идея

Функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R и является чётной. Для
каждого целого n⩾0n\geqslant0 условие [x2]=n[x^2]=n равносильноn⩽∣x∣<n+1\sqrt n\leqslant |x|<\sqrt{n+1}Поэтомуy=(−1)nприn⩽∣x∣<n+1y=(-1)^n
\quad\text{при}\quad
\sqrt n\leqslant |x|<\sqrt{n+1}На внутренности каждого такого множества функция постоянна. При
x=±nx=\pm\sqrt n, n∈Nn\in\mathbb N, показатель степени меняется на
единицу, поэтому значение функции меняет знак. В этих точках имеются
разрывы первого рода. В частности, около нуля [x2]=0[x^2]=0, поэтому
функция непрерывна в точке x=0x=0.
  1. 1

    Построение графика

    На промежутках между соседними числами
    ±n\pm\sqrt n строим чередующиеся уровни 11 и −1-1. Включённый конец
    каждой ступени соответствует тому значению nn, которое действительно
    принимает [x2][x^2] в граничной точке.
    На рисунке показан конечный фрагмент; чередование ступеней продолжается
    при ∣x∣→∞|x|\to\infty.график к задаче Демидовича № 712

Проверка

Ответ. Функция непрерывна приx∉{±n:n∈N}x\notin\left\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb N\right\}и имеет разрывы первого рода во всех точках x=±nx=\pm\sqrt n.
Демидович № 712 — решение и ответ