Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 712

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=(-1)^{[x^2]}

ВыводФункция непрерывна при

x\notin\left\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb N\right\}

и имеет разрывы первого рода во всех точках

x=\pm\sqrt n

Решение

Функция определена при всех

x\in\mathbb R

и является чётной. Для
каждого целого

n\geqslant0

условие

[x^2]=n

равносильно

\sqrt n\leqslant |x|<\sqrt{n+1}

Поэтому

y=(-1)^n\quad\text{при}\quad\sqrt n\leqslant |x|<\sqrt{n+1}

На внутренности каждого такого множества функция постоянна. При

x=\pm\sqrt n

n\in\mathbb N

, показатель степени меняется на
единицу, поэтому значение функции меняет знак. В этих точках имеются
разрывы первого рода. В частности, около нуля

[x^2]=0

, поэтому
функция непрерывна в точке

x=0

На промежутках между соседними числами

\pm\sqrt n

строим чередующиеся уровни

1

-1

. Включённый конец
каждой ступени соответствует тому значению

n

, которое действительно
принимает

[x^2]

в граничной точке.
На рисунке показан конечный фрагмент; чередование ступеней продолжается
при

|x|\to\infty