Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 751

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если функция

f(x)

непрерывна в промежутке

a\leqslant x<+\infty

и существует конечный

\lim_{x\to+\infty}f(x)

то эта функция ограничена в данном промежутке.

Доказано:Функция

f

ограничена на промежутке

[a,+\infty)

Доказательство

Пусть

\lim_{x\to+\infty}f(x)=A

По определению предела существует число

R>a

, для которого при

x\geqslant R

|f(x)-A|<1

Следовательно, на луче

[R,+\infty)

|f(x)|<|A|+1

На компактном сегменте

[a,R]

непрерывная функция ограничена, то
есть существует

K>0

, для которого

|f(x)|\leqslant K

. Поэтому на
всём промежутке

|f(x)|\leqslant\max\{K,|A|+1\}

Что и требовалось доказать