Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 745

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 745

Исследовать на непрерывность сложную функцию y=f(u)y=f(u), где
u=φ(x)u=\varphi(x), если:f(u)={u,0<u⩽12−u,1<u<2f(u)=
\begin{cases}
u, & 0<u\leqslant1\\
2-u, & 1<u<2
\end{cases}φ(x)={x,при x рациональном2−x,при x иррациональном(0<x<1)\varphi(x)=
\begin{cases}
x, & \text{при }x\text{ рациональном}\\
2-x, & \text{при }x\text{ иррациональном}
\end{cases}
\qquad(0<x<1)
ВыводПри всех 0<x<10<x<1f[φ(x)]=xf[\varphi(x)]=xпоэтому сложная функция непрерывна на интервале (0,1)(0,1).

Решение

Идея

Если xx рационально, то φ(x)=x∈(0,1)\varphi(x)=x\in(0,1), и по первой
ветви функции ff

Проверка

f[φ(x)]=f(x)=xf[\varphi(x)]=f(x)=xЕсли xx иррационально, то φ(x)=2−x∈(1,2)\varphi(x)=2-x\in(1,2), и по второй
ветвиf[φ(x)]=f(2−x)=2−(2−x)=xf[\varphi(x)]=f(2-x)=2-(2-x)=xТаким образом, тип числа xx не влияет на значение композиции.
Демидович № 745 — решение и ответ