Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 756

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 756

Показать, что функцияf(x)=sin⁡1x−a,x≠a,f(a)=0f(x)=\sin\frac1{x-a},
\quad x\ne a,
\qquad
f(a)=0принимает на любом сегменте [a,b][a,b] все промежуточные значения между
f(a)f(a) и f(b)f(b), однако не является непрерывной на [a,b][a,b].
Доказано:Функция принимает на каждом сегменте [a,b][a,b] все значения
между f(a)f(a) и f(b)f(b), но разрывна при x=ax=a.

Доказательство

Идея

Пусть a<ba<b, а число λ\lambda лежит между f(a)=0f(a)=0 и
f(b)f(b). Тогда λ∈[−1,1]\lambda\in[-1,1]. Выберем число α\alpha, для
которого sin⁡α=λ\sin\alpha=\lambda. При достаточно больших натуральных
kk числоxk=a+1α+2πkx_k=a+\frac1{\alpha+2\pi k}принадлежит интервалу (a,b)(a,b), причёмf(xk)=sin⁡(α+2πk)=λf(x_k)=\sin(\alpha+2\pi k)=\lambdaЗначит, каждое промежуточное значение действительно принимается.
Однако для последовательностейun=a+1π2+2πn,vn=a+13π2+2πnu_n=a+\frac1{\frac\pi2+2\pi n},
\qquad
v_n=a+\frac1{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}имеем un→au_n\to a, vn→av_n\to a, ноf(un)=1,f(vn)=−1f(u_n)=1,
\qquad
f(v_n)=-1Поэтому предела при x→a+x\to a^+ не существует и функция разрывна в
точке aa.

Что и требовалось доказать

Демидович № 756 — решение и ответ