Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 722

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 722

y=lim⁡n→∞1+x2nny=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^{2n}}
ПостроениеПредельная функция равна 11 при ∣x∣⩽1|x|\leqslant1 и x2x^2 при
∣x∣>1|x|>1; она непрерывна на R\mathbb R.

Построение

  1. 1
    Положим a=∣x∣a=|x|. Тогда x2n=a2nx^{2n}=a^{2n}.
  2. 2
    Если 0⩽a⩽10\leqslant a\leqslant1, то1⩽1+a2nn⩽2n1\leqslant\sqrt[n]{1+a^{2n}}\leqslant\sqrt[n]{2}Обе крайние величины стремятся к 11, поэтому предел равен 11.
  3. 3
    Если a>1a>1, вынесем a2na^{2n} из-под корня:1+a2nn=a21+a−2nn\sqrt[n]{1+a^{2n}}
    =a^2\sqrt[n]{1+a^{-2n}}    Здесь a−2n→0a^{-2n}\to0, а1⩽1+a−2nn⩽2n→11\leqslant\sqrt[n]{1+a^{-2n}}\leqslant\sqrt[n]{2}\to1Следовательно, при a>1a>1 предел равен a2=x2a^2=x^2. Итак,y={1,∣x∣⩽1,x2,∣x∣>1y=
    \begin{cases}
    1, & |x|\leqslant1,\\[1mm]
    x^2, & |x|>1
    \end{cases}
  4. 4
    На каждом из промежутков, где действует одна формула, функция непрерывна.
    В точках склейкиlim⁡x→−1y=1=y(−1),lim⁡x→1y=1=y(1)\lim_{x\to-1}y=1=y(-1),
    \qquad
    \lim_{x\to1}y=1=y(1)    поэтому предельная функция непрерывна на всей числовой прямой. При
    x=±1x=\pm1 график имеет угловые точки: непрерывность сохраняется, хотя
    односторонние производные не совпадают.
  5. 5

    Построение графика

    На отрезке [−1,1][-1,1] график является горизонтальным
    отрезком y=1y=1. За его концами продолжаются две внешние ветви параболы
    y=x2y=x^2.график к задаче Демидовича № 722

Проверка

Ответ. Предельная функция равна 11 при ∣x∣⩽1|x|\leqslant1 и x2x^2 при
∣x∣>1|x|>1; она непрерывна на R\mathbb R.
Демидович № 722 — решение и ответ