Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 720

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

y=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+x^n},\qquad x\geqslant0

ПостроениеФункция непрерывна на

[0,1)\cup(1,+\infty)

и имеет разрыв
первого рода в точке

x=1

; скачок равен

-1

Построение

Идея

Здесь

n

пробегает натуральные числа. Рассмотрим отдельно возможные
значения

x

1
Если $0\leqslant x<1$ , то $x^n\to0$ , поэтому $y=1$ При $x=1$ каждый член последовательности равен $\frac12$ , следовательно, $y=\frac12$ Наконец, при $x>1$ имеем $x^n\to+\infty$ , откуда $y=0$ Таким образом, предельная функция имеет вид $y=\begin{cases}1, & 0\leqslant x<1,\\[1mm]\dfrac12, & x=1,\\[1mm]0, & x>1\end{cases}$ Она непрерывна на $[0,1)$ и $(1,+\infty)$ , причём в точке $x=0$
непрерывность понимается справа. В точке $x=1$ $\lim_{x\to1^-}y=1,\qquad\lim_{x\to1^+}y=0,\qquady(1)=\frac12$ Поэтому $x=1$ является точкой разрыва первого рода. В стандартном порядке
«правый предел минус левый предел» скачок равен $-1$ .
2
Построение графика
На полуинтервале $[0,1)$ изображён отрезок уровня
$y=1$ , при $x>1$ — луч уровня $y=0$ . Оба предельных положения при $x=1$
открыты, а значение $\left(1,\frac12\right)$ закрашено. $график к задаче Демидовича № 720$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

[0,1)\cup(1,+\infty)

и имеет разрыв
первого рода в точке

x=1

; скачок равен

-1