Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 720

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 720

y=lim⁡n→∞11+xn,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+x^n},
\qquad x\geqslant0
ПостроениеФункция непрерывна на [0,1)∪(1,+∞)[0,1)\cup(1,+\infty) и имеет разрыв
первого рода в точке x=1x=1; скачок равен −1-1.

Построение

Здесь nn пробегает натуральные числа. Рассмотрим отдельно возможные
значения xx.
Если 0⩽x<10\leqslant x<1, то xn→0x^n\to0, поэтомуy=1y=1При x=1x=1 каждый член последовательности равен 12\frac12, следовательно,y=12y=\frac12Наконец, при x>1x>1 имеем xn→+∞x^n\to+\infty, откудаy=0y=0Таким образом, предельная функция имеет видy={1,0⩽x<1,12,x=1,0,x>1y=
\begin{cases}
1, & 0\leqslant x<1,\\[1mm]
\dfrac12, & x=1,\\[1mm]
0, & x>1
\end{cases}Она непрерывна на [0,1)[0,1) и (1,+∞)(1,+\infty), причём в точке x=0x=0
непрерывность понимается справа. В точке x=1x=1lim⁡x→1−y=1,lim⁡x→1+y=0,y(1)=12\lim_{x\to1^-}y=1,
\qquad
\lim_{x\to1^+}y=0,
\qquad
y(1)=\frac12Поэтому x=1x=1 является точкой разрыва первого рода. В стандартном порядке
«правый предел минус левый предел» скачок равен −1-1.

Построение графика

На полуинтервале [0,1)[0,1) изображён отрезок уровня
y=1y=1, при x>1x>1 — луч уровня y=0y=0. Оба предельных положения при x=1x=1
открыты, а значение (1,12)\left(1,\frac12\right) закрашено.график к задаче Демидовича № 720