Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 757

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 757

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна на интервале (a,b)(a,b)
и x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n — любые значения xx из этого интервала,
то между ними найдется число ξ\xi такое, чтоf(ξ)=1n[f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)]f(\xi)=\frac1n[f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)]
Доказано:Существует ξ\xi между наименьшим и наибольшим из чисел
x1,…,xnx_1,\ldots,x_n, для которогоf(ξ)=1n∑k=1nf(xk)f(\xi)=\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)

Доказательство

ОбозначимA=1n∑k=1nf(xk)A=\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)Среднее арифметическое конечного набора чисел лежит между наименьшим и
наибольшим из них:min⁡1⩽k⩽nf(xk)⩽A⩽max⁡1⩽k⩽nf(xk)\min_{1\leqslant k\leqslant n}f(x_k)
\leqslant A\leqslant
\max_{1\leqslant k\leqslant n}f(x_k)Пусть минимум достигается при xpx_p, а максимум — при xqx_q.
Если минимум совпадает с максимумом, то все числа f(xk)f(x_k) равны
AA, и можно взять ξ=x1\xi=x_1. В дальнейшем считаем, что минимум и
максимум различны.
Функция ff непрерывна на сегменте с концами xpx_p и xqx_q.
По теореме о промежуточных значениях существует точка ξ\xi между
xpx_p и xqx_q, а значит, и между данными точками, для которойf(ξ)=Af(\xi)=A

Что и требовалось доказать

Демидович № 757 — решение и ответ