Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 734

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 734

Доказать, что функция Дирихлеχ(x)=lim⁡m→∞[lim⁡n→∞cos⁡2n(m!πx)]\chi(x)=\lim_{m\to\infty}
\left[\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)\right]разрывна при каждом значении xx.
Доказано:Функция χ\chi разрывна при каждом x∈Rx\in\mathbb R.

Доказательство

Сначала выясним значение записанного двойного предела. При фиксированном
mm квадратные скобки лишь группируют внутренний предел. Кроме того,cos⁡2n(m!πx)=(cos⁡2(m!πx))n\cos^{2n}(m!\pi x)=\bigl(\cos^2(m!\pi x)\bigr)^nПоэтомуlim⁡n→∞cos⁡2n(m!πx)={1,m!x∈Z0,m!x∉Z\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=
\begin{cases}
1, & m!x\in\mathbb Z\\
0, & m!x\notin\mathbb Z
\end{cases}Действительно, в первом случае квадрат косинуса равен 11, а во втором
0⩽cos⁡2(m!πx)<10\leqslant\cos^2(m!\pi x)<1, поэтому его nn-я степень стремится
к нулю.
Если x=pq∈Qx=\frac pq\in\mathbb Q, где p∈Zp\in\mathbb Z,
q∈Nq\in\mathbb N, то для каждого m⩾qm\geqslant q число
m!pq\frac{m!p}{q} целое. Поэтому внешний
предел равен 11. Если x∉Qx\notin\mathbb Q, то m!xm!x иррационально
при каждом mm, поэтому каждый внутренний предел равен 00. Итак,χ(x)={1,x∈Q0,x∈R∖Q\chi(x)=
\begin{cases}
1, & x\in\mathbb Q\\
0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}Пусть a∈Ra\in\mathbb R. В любой окрестности aa есть как рациональные,
так и иррациональные числа. Поэтому существуют последовательности
rk∈Qr_k\in\mathbb Q и sk∉Qs_k\notin\mathbb Q, для которыхrk→a,sk→ar_k\to a,
\qquad
s_k\to aноχ(rk)=1,χ(sk)=0\chi(r_k)=1,
\qquad
\chi(s_k)=0Следовательно, lim⁡x→aχ(x)\lim_{x\to a}\chi(x) не существует. Точка aa была
произвольной, значит, функция разрывна всюду.

Построение графика

Точки (x,1)(x,1), x∈Qx\in\mathbb Q, плотны на прямой
y=1y=1, а точки (x,0)(x,0), x∉Qx\notin\mathbb Q, плотны на прямой
y=0y=0. На схеме отмечено несколько иррациональных абсцисс, например
2\sqrt2, π2\frac\pi2 и ee; их положения нанесены приближённо.
Точки не соединяем.график к задаче Демидовича № 734

Что и требовалось доказать