Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 734

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 734

Доказать, что функция Дирихле

\chi(x)=\lim_{m\to\infty} \left[\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)\right]

разрывна при каждом значении

x

Доказано:Функция

\chi

разрывна при каждом

x\in\mathbb R

Доказательство

Идея

Сначала выясним значение записанного двойного предела. При фиксированном

m

квадратные скобки лишь группируют внутренний предел. Кроме того,

\cos^{2n}(m!\pi x)=\bigl(\cos^2(m!\pi x)\bigr)^n

Поэтому

\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)= \begin{cases} 1, & m!x\in\mathbb Z\\ 0, & m!x\notin\mathbb Z \end{cases}

Действительно, в первом случае квадрат косинуса равен

1

, а во втором

0\leqslant\cos^2(m!\pi x)<1

, поэтому его

n

-я степень стремится
к нулю.

1
Если $x=\frac pq\in\mathbb Q$ , где $p\in\mathbb Z$ ,
$q\in\mathbb N$ , то для каждого $m\geqslant q$ число
$\frac{m!p}{q}$ целое. Поэтому внешний
предел равен $1$ . Если $x\notin\mathbb Q$ , то $m!x$ иррационально
при каждом $m$ , поэтому каждый внутренний предел равен $0$ . Итак, $\chi(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb Q\\ 0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{cases}$ Пусть $a\in\mathbb R$ . В любой окрестности $a$ есть как рациональные,
так и иррациональные числа. Поэтому существуют последовательности
$r_k\in\mathbb Q$ и $s_k\notin\mathbb Q$ , для которых $r_k\to a, \qquad s_k\to a$ но $\chi(r_k)=1, \qquad \chi(s_k)=0$ Следовательно, $\lim_{x\to a}\chi(x)$ не существует. Точка $a$ была
произвольной, значит, функция разрывна всюду.
2
Построение графика
Точки $(x,1)$ , $x\in\mathbb Q$ , плотны на прямой
$y=1$ , а точки $(x,0)$ , $x\notin\mathbb Q$ , плотны на прямой
$y=0$ . На схеме отмечено несколько иррациональных абсцисс, например
$\sqrt2$ , $\frac\pi2$ и $e$ ; их положения нанесены приближённо.
Точки не соединяем. $график к задаче Демидовича № 734$

Что и требовалось доказать