Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 744

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 744

Исследовать на непрерывность функции f[g(x)]f[g(x)] и g[f(x)]g[f(x)], если:а) f(x)=sgn⁡x и g(x)=1+x2\text{а) }f(x)=\operatorname{sgn}x
\text{ и }g(x)=1+x^2б) f(x)=sgn⁡x и g(x)=x(1−x2)\text{б) }f(x)=\operatorname{sgn}x
\text{ и }g(x)=x(1-x^2)в) f(x)=sgn⁡x и g(x)=1+x−[x]\text{в) }f(x)=\operatorname{sgn}x
\text{ и }g(x)=1+x-[x]
Вывода) Функция f[g(x)]≡1f[g(x)]\equiv1 непрерывна на R\mathbb R,
а g[f(x)]g[f(x)] разрывна только при x=0x=0.

б) Функция f[g(x)]f[g(x)] разрывна ровно в точках
x=−1,0,1x=-1,0,1, а g[f(x)]≡0g[f(x)]\equiv0 непрерывна на R\mathbb R.

в) Обе композиции тождественно равны единице и непрерывны на
R\mathbb R:f[g(x)]=g[f(x)]=1f[g(x)]=g[f(x)]=1

Решение

Используем соглашение sgn⁡0=0\operatorname{sgn}0=0.

Пункт а)

Поскольку 1+x2>01+x^2>0 при всех xx,f[g(x)]=sgn⁡(1+x2)=1f[g(x)]=\operatorname{sgn}(1+x^2)=1Эта композиция непрерывна на R\mathbb R. Для второй композицииg[f(x)]=1+(sgn⁡x)2={2,x≠01,x=0g[f(x)]=1+(\operatorname{sgn} x)^2=
\begin{cases}
2, & x\ne0\\
1, & x=0
\end{cases}Поэтому она непрерывна при x≠0x\ne0 и разрывна при x=0x=0.

Пункт б)

Нули функции g(x)=x(1−x2)g(x)=x(1-x^2) равны −1,0,1-1,0,1. С учётом
её знака на промежутках получаемf[g(x)]={1,x<−1−1,−1<x<01,0<x<1−1,x>10,x∈{−1,0,1}f[g(x)]=
\begin{cases}
1, & x<-1\\
-1, & -1<x<0\\
1, & 0<x<1\\
-1, & x>1\\
0, & x\in\{-1,0,1\}
\end{cases}Следовательно, эта композиция разрывна в точках −1,0,1-1,0,1 и
непрерывна во всех остальных точках. В то же времяg[f(x)]=sgn⁡x(1−(sgn⁡x)2)=0g[f(x)]=\operatorname{sgn} x\bigl(1-(\operatorname{sgn} x)^2\bigr)=0при всех xx.

Пункт в)

Число x−[x]x-[x] является дробной частью xx, поэтому1⩽g(x)=1+x−[x]<21\leqslant g(x)=1+x-[x]<2иf[g(x)]=1f[g(x)]=1Кроме того, sgn⁡x\operatorname{sgn} x всегда принимает целое значение, откудаg[f(x)]=1+sgn⁡x−[sgn⁡x]=1g[f(x)]=1+\operatorname{sgn} x-[\operatorname{sgn} x]=1
Демидович № 744 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика