Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 744

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность функции

f[g(x)]

g[f(x)]

, если:

\text{а) }f(x)=\operatorname{sgn}x \text{ и }g(x)=1+x^2

\text{б) }f(x)=\operatorname{sgn}x \text{ и }g(x)=x(1-x^2)

\text{в) }f(x)=\operatorname{sgn}x \text{ и }g(x)=1+x-[x]

ВыводФункция

f[g(x)]\equiv1

непрерывна на

\mathbb R

,
а

g[f(x)]

разрывна только при

x=0

.

Функция

f[g(x)]

разрывна ровно в точках

x=-1,0,1

, а

g[f(x)]\equiv0

непрерывна на

\mathbb R

.

Обе композиции тождественно равны единице и непрерывны на

\mathbb R

f[g(x)]=g[f(x)]=1

Решение

1
Используем соглашение $\operatorname{sgn}0=0$ .
2
Пункт а)
Поскольку $1+x^2>0$ при всех $x$ , $f[g(x)]=\operatorname{sgn}(1+x^2)=1$ Эта композиция непрерывна на $\mathbb R$ . Для второй композиции $g[f(x)]=1+(\operatorname{sgn} x)^2= \begin{cases} 2, & x\ne0\\ 1, & x=0 \end{cases}$ Поэтому она непрерывна при $x\ne0$ и разрывна при $x=0$ .
3
Пункт б)
Нули функции $g(x)=x(1-x^2)$ равны $-1,0,1$ . С учётом
её знака на промежутках получаем $f[g(x)]= \begin{cases} 1, & x<-1\\ -1, & -1<x<0\\ 1, & 0<x<1\\ -1, & x>1\\ 0, & x\in\{-1,0,1\} \end{cases}$ Следовательно, эта композиция разрывна в точках $-1,0,1$ и
непрерывна во всех остальных точках. В то же время $g[f(x)]=\operatorname{sgn} x\bigl(1-(\operatorname{sgn} x)^2\bigr)=0$ при всех $x$ .
4
Пункт в)
Число $x-[x]$ является дробной частью $x$ , поэтому $1\leqslant g(x)=1+x-[x]<2$ и $f[g(x)]=1$ Кроме того, $\operatorname{sgn} x$ всегда принимает целое значение, откуда $g[f(x)]=1+\operatorname{sgn} x-[\operatorname{sgn} x]=1$