Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 716

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=\ln\frac{x^2}{(x+1)(x-3)}

ВыводФункция непрерывна на

(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)

;

x=-1

x=3

— вертикальные
асимптоты,

y=0

— горизонтальная асимптота.

Решение

Идея

Аргумент логарифма должен быть положительным. При

x\ne0

числитель

x^2

положителен, поэтому требуется

(x+1)(x-3)>0

Отсюда

D=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)

На обоих промежутках функция непрерывна. При приближении к конечным
границам области определения изнутри аргумент логарифма стремится к

+\infty

, поэтому

\lim_{x\to-1^-}y=+\infty,\qquad\lim_{x\to3^+}y=+\infty

Прямые

x=-1

x=3

являются вертикальными асимптотами.

1
При $x\to\pm\infty$ $\frac{x^2}{(x+1)(x-3)}=\frac{x^2}{x^2-2x-3}\longrightarrow1$ поэтому $\lim_{x\to\pm\infty}y=0$ и $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Нуль функции находится из равенства аргумента логарифма единице: $x^2=(x+1)(x-3)\quad\Longleftrightarrow\quadx=-\frac32$ Производная равна $y'=\frac2x-\frac1{x+1}-\frac1{x-3}=-\frac{2(x+3)}{x(x+1)(x-3)}$ На левом промежутке функция убывает при $x<-3$ и возрастает при
$-3<x<-1$ , поэтому точка $\left(-3,\ln\frac34\right)$ является минимумом этой ветви. На $(3,+\infty)$ функция строго
убывает от $+\infty$ к нулю.
2
Построение графика
Строим две ветви, проводим вертикальные асимптоты
$x=-1$ , $x=3$ . Горизонтальная асимптота $y=0$ совпадает с осью $Ox$ .
Отмечаем минимум левой ветви и её пересечение с этой осью. $график к задаче Демидовича № 716$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)

;

x=-1

x=3

— вертикальные
асимптоты,

y=0

— горизонтальная асимптота.