Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 716

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 716

y=ln⁡x2(x+1)(x−3)y=\ln\frac{x^2}{(x+1)(x-3)}
ВыводФункция непрерывна на
(−∞,−1)∪(3,+∞)(-\infty,-1)\cup(3,+\infty); x=−1x=-1 и x=3x=3 — вертикальные
асимптоты, y=0y=0 — горизонтальная асимптота.

Решение

Аргумент логарифма должен быть положительным. При x≠0x\ne0 числитель
x2x^2 положителен, поэтому требуется(x+1)(x−3)>0(x+1)(x-3)>0ОтсюдаD=(−∞,−1)∪(3,+∞)D=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)На обоих промежутках функция непрерывна. При приближении к конечным
границам области определения изнутри аргумент логарифма стремится к
+∞+\infty, поэтомуlim⁡x→−1−y=+∞,lim⁡x→3+y=+∞\lim_{x\to-1^-}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to3^+}y=+\inftyПрямые x=−1x=-1 и x=3x=3 являются вертикальными асимптотами.
При x→±∞x\to\pm\inftyx2(x+1)(x−3)=x2x2−2x−3⟶1\frac{x^2}{(x+1)(x-3)}=
\frac{x^2}{x^2-2x-3}\longrightarrow1поэтомуlim⁡x→±∞y=0\lim_{x\to\pm\infty}y=0и y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

Нуль функции находится из равенства аргумента логарифма единице:x2=(x+1)(x−3)⟺x=−32x^2=(x+1)(x-3)
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=-\frac32Обозначим аргумент логарифма через r(x)r(x). На области определения знаменатель положителен, иr(x)−34=4x2−3(x2−2x−3)4(x2−2x−3)=(x+3)24(x2−2x−3)⩾0.r(x)-\frac34
=\frac{4x^2-3(x^2-2x-3)}{4(x^2-2x-3)}
=\frac{(x+3)^2}{4(x^2-2x-3)}\geqslant0.Равенство достигается только при x=−3x=-3. Так как логарифм возрастает, минимум левой ветви находится в точке (−3,ln⁡(3/4))(-3,\ln(3/4)).

Уточним направление ветвей. При t=1/xt=1/xr(x)=11−2t−3t2,1−2t−3t2=43−3(t+1/3)2.r(x)=\frac1{1-2t-3t^2},\qquad 1-2t-3t^2=\frac43-3(t+1/3)^2.Если xx возрастает от −∞-\infty до −3-3, то tt убывает от 00 до −1/3-1/3: квадрат (t+1/3)2(t+1/3)^2 уменьшается, положительный знаменатель растёт, а rr и его логарифм убывают. Если −3<x<−1-3<x<-1, тот же квадрат растёт, знаменатель уменьшается, а логарифм возрастает. При x>3x>3 число tt положительно и убывает к нулю; знаменатель 1−2t−3t21-2t-3t^2 растёт, поэтому правая ветвь убывает.

Построение графика

Строим две ветви, проводим вертикальные асимптоты
x=−1x=-1, x=3x=3. Горизонтальная асимптота y=0y=0 совпадает с осью OxOx.
Отмечаем минимум левой ветви и её пересечение с этой осью.график к задаче Демидовича № 716