Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 717

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=e^{-\frac1x}

ВыводФункция непрерывна на

(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

.
При

x=0

левая ветвь имеет вертикальную асимптоту, а правая —
конечную предельную точку

(0,0)

;

y=1

является горизонтальной
асимптотой.

Решение

Функция определена и непрерывна при

x\ne0

. В исключённой точке
односторонние пределы различны по характеру:

\lim_{x\to0^-}e^{-\frac1x}=+\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}e^{-\frac1x}=0

Таким образом, прямая

x=0

, совпадающая с осью

Oy

, является
вертикальной асимптотой только для левой ветви. Правая ветвь имеет
выколотую одностороннюю предельную точку

(0,0)

При

x\to\pm\infty

показатель

-\dfrac1x

стремится к нулю, поэтому

\lim_{x\to\pm\infty}e^{-\frac1x}=1

y=1

является горизонтальной асимптотой. Если

u<v

находятся на одной стороне от нуля, то

-\frac1v+\frac1u=\frac{v-u}{uv}>0.

Следовательно,

-1/x

строго возрастает на каждом промежутке. Экспонента возрастает, поэтому обе ветви исходной функции строго возрастают.

Строим две возрастающие ветви и горизонтальную
асимптоту

y=1

. Вертикальную асимптоту

x=0

отдельно пунктиром не
дублируем, поскольку она совпадает с осью

Oy

. Правую ветвь доводим
визуально до окрестности точки

(0,0)

, а саму точку оставляем
выколотой. график к задаче Демидовича № 717