Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 717

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=e^{-\frac1x}

ВыводФункция непрерывна на

(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

.
При

x=0

левая ветвь имеет вертикальную асимптоту, а правая —
конечную предельную точку

(0,0)

;

y=1

является горизонтальной
асимптотой.

Решение

Идея

Функция определена и непрерывна при

x\ne0

. В исключённой точке
односторонние пределы различны по характеру:

\lim_{x\to0^-}e^{-\frac1x}=+\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}e^{-\frac1x}=0

Таким образом, прямая

x=0

, совпадающая с осью

Oy

, является
вертикальной асимптотой только для левой ветви. Правая ветвь имеет
выколотую одностороннюю предельную точку

(0,0)

1
При $x\to\pm\infty$ показатель $-\dfrac1x$ стремится к нулю, поэтому $\lim_{x\to\pm\infty}e^{-\frac1x}=1$ и $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Производная $y'=\frac{e^{-\frac1x}}{x^2}>0$ показывает, что функция строго возрастает на каждом из промежутков
$(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ .
2
Построение графика
Строим две возрастающие ветви и горизонтальную
асимптоту $y=1$ . Вертикальную асимптоту $x=0$ отдельно пунктиром не
дублируем, поскольку она совпадает с осью $Oy$ . Правую ветвь доводим
визуально до окрестности точки $(0,0)$ , а саму точку оставляем
выколотой. $график к задаче Демидовича № 717$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

.
При

x=0

левая ветвь имеет вертикальную асимптоту, а правая —
конечную предельную точку

(0,0)

;

y=1

является горизонтальной
асимптотой.