Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 746

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если

f(x)

— непрерывная функция, то

F(x)=|f(x)|

есть также непрерывная функция.

Доказано:Функция

F(x)=|f(x)|

непрерывна в каждой точке непрерывности функции

f

Доказательство

Используем обратное неравенство треугольника. В любой точке

x_0

\bigl||f(x)|-|f(x_0)|\bigr| \leqslant|f(x)-f(x_0)|

Правая часть стремится к нулю при

x\to x_0

, поскольку

f

непрерывна. Следовательно, к нулю стремится и левая часть.

Что и требовалось доказать