Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 746

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 746

Доказать, что если f(x)f(x) — непрерывная функция, тоF(x)=∣f(x)∣F(x)=|f(x)|есть также непрерывная функция.
Доказано:ФункцияF(x)=∣f(x)∣F(x)=|f(x)|непрерывна в каждой точке непрерывности функции ff.

Доказательство

Идея

Используем обратное неравенство треугольника. В любой точке x0x_0

Проверка

∣∣f(x)∣−∣f(x0)∣∣⩽∣f(x)−f(x0)∣\bigl||f(x)|-|f(x_0)|\bigr|
\leqslant|f(x)-f(x_0)|Правая часть стремится к нулю при x→x0x\to x_0, поскольку ff
непрерывна. Следовательно, к нулю стремится и левая часть.

Что и требовалось доказать

Демидович № 746 — решение и ответ