Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 719

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 719

y=th⁡2x1−x2y=\operatorname{th}\frac{2x}{1-x^2}
ВыводФункция непрерывна на
(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty) и имеет разрывы первого рода
в точках x=−1x=-1 и x=1x=1.

Решение

Идея

Внутренняя рациональная функция не определена при x=±1x=\pm1, поэтомуD=R∖{−1,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}На каждой связной компоненте области DD функция непрерывна.
По знакам числителя и знаменателя внутренняя дробь при приближении
слева к каждой из точек −1-1 и 11 стремится к +∞+\infty, а при
приближении справа — к −∞-\infty. Поскольку
th⁡u→±1\operatorname{th}u\to\pm1 при u→±∞u\to\pm\infty, получаемlim⁡x→−1−y=1,lim⁡x→−1+y=−1lim⁡x→1−y=1,lim⁡x→1+y=−1\begin{aligned}
&\lim_{x\to-1^-}y=1,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}y=-1\\
&\lim_{x\to1^-}y=1,
\qquad
\lim_{x\to1^+}y=-1
\end{aligned}В обеих точках имеются разрывы первого рода со скачком величины 22.
  1. 1
    Внутренняя функция строго возрастает на каждом промежутке области
    определения, поскольку(2x1−x2)′=2(1+x2)(1−x2)2>0\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)'=
    \frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}>0    Гиперболический тангенс также строго возрастает, поэтому каждая из
    трёх ветвей исходной функции строго возрастает. Функция нечётная,
    y(0)=0y(0)=0, а при x→±∞x\to\pm\infty2x1−x2⟶0,y⟶0\frac{2x}{1-x^2}\longrightarrow0,
    \qquad
    y\longrightarrow0    Следовательно, y=0y=0 является горизонтальной асимптотой, совпадающей
    с осью OxOx.
  2. 2

    Построение графика

    Строим три возрастающие ветви. При x=−1x=-1 и
    x=1x=1 отмечаем по две выколотые односторонние предельные точки на
    уровнях −1-1 и 11. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку
    все четыре односторонних предела конечны.график к задаче Демидовича № 719

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на
(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty) и имеет разрывы первого рода
в точках x=−1x=-1 и x=1x=1.
Демидович № 719 — решение и ответ