Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 719

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 719

y=\operatorname{th}\frac{2x}{1-x^2}

ВыводФункция непрерывна на

(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)

и имеет разрывы первого рода
в точках

x=-1

x=1

Решение

Внутренняя рациональная функция не определена при

x=\pm1

, поэтому

D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}

На каждой связной компоненте области

D

функция непрерывна.
По знакам числителя и знаменателя внутренняя дробь при приближении
слева к каждой из точек

-1

1

стремится к

+\infty

, а при
приближении справа — к

-\infty

. Поскольку

\operatorname{th}u\to\pm1

при

u\to\pm\infty

, получаем

\begin{aligned}&\lim_{x\to-1^-}y=1,\qquad\lim_{x\to-1^+}y=-1\\&\lim_{x\to1^-}y=1,\qquad\lim_{x\to1^+}y=-1\end{aligned}

В обеих точках имеются разрывы первого рода со скачком величины

2

Разложим внутреннюю дробь:

\frac{2x}{1-x^2}=\frac1{1-x}-\frac1{1+x}.

На каждом промежутке, не пересекающем

-1

1

, оба слагаемых справа строго возрастают (знак разности их значений проверяется приведением к общему знаменателю). Поэтому сумма возрастает. Далее,

\operatorname{th}u=1-\frac2{e^{2u}+1}.

С ростом

u

положительный знаменатель растёт, вычитаемая дробь уменьшается, а гиперболический тангенс возрастает. Следовательно, каждая из трёх ветвей исходной функции строго возрастает. Функция нечётная,

y(0)=0

, а при

x\to\pm\infty

\frac{2x}{1-x^2}\longrightarrow0,\qquady\longrightarrow0

Следовательно,

y=0

является горизонтальной асимптотой, совпадающей
с осью

Ox

Построение графика

Строим три возрастающие ветви. При

x=-1

x=1

отмечаем по две выколотые односторонние предельные точки на
уровнях

-1

1

. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку
все четыре односторонних предела конечны. график к задаче Демидовича № 719