Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 728

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 728

y=lim⁡t→+∞(1+x)th⁡(tx)y=\lim_{t\to+\infty}(1+x)\operatorname{th}(tx)
ПостроениеФункция непрерывна при x≠0x\neq0 и имеет разрыв первого рода
со скачком 22 в точке x=0x=0.

Построение

Используем пределы гиперболического тангенса:lim⁡u→+∞th⁡u=1,lim⁡u→−∞th⁡u=−1,th⁡0=0\lim_{u\to+\infty}\operatorname{th}u=1,
\qquad
\lim_{u\to-\infty}\operatorname{th}u=-1,
\qquad
\operatorname{th}0=0Если x>0x>0, то tx→+∞tx\to+\infty и предел равен 1+x1+x. Если x<0x<0, то
tx→−∞tx\to-\infty и предел равен −(1+x)=−1−x-(1+x)=-1-x. При x=0x=0 исходное
выражение равно нулю. Следовательно,y={−1−x,x<0,0,x=0,1+x,x>0y=
\begin{cases}
-1-x, & x<0,\\[1mm]
0, & x=0,\\[1mm]
1+x, & x>0
\end{cases}
При x≠0x\neq0 функция линейна и непрерывна. В нулеlim⁡x→0−y=−1,lim⁡x→0+y=1,y(0)=0\lim_{x\to0^-}y=-1,
\qquad
\lim_{x\to0^+}y=1,
\qquad
y(0)=0поэтому имеется разрыв первого рода со скачком 22.

Построение графика

Слева от нуля изображён луч прямой y=−1−xy=-1-x, справа
— луч прямой y=1+xy=1+x. Их предельные точки (0,−1)(0,-1) и (0,1)(0,1) открыты,
а значение функции в нуле закрашено.график к задаче Демидовича № 728