Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 753

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 753

Пусть φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) — непрерывные периодические
функции, определенные при −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty, иlim⁡x→+∞[φ(x)−ψ(x)]=0\lim_{x\to+\infty}[\varphi(x)-\psi(x)]=0Доказать, чтоφ(x)≡ψ(x)\varphi(x)\equiv\psi(x)
Доказано:φ(x)≡ψ(x)\varphi(x)\equiv\psi(x)

Доказательство

Идея

Положимh(x)=φ(x)−ψ(x).h(x)=\varphi(x)-\psi(x).По условию h(x)→0h(x)\to0 при x→+∞x\to+\infty. Пусть T>0T>0 —
период функции φ\varphi. Тогдаψ(x+T)−ψ(x)=h(x)−h(x+T)⟶0.\psi(x+T)-\psi(x)=h(x)-h(x+T)\longrightarrow0.Функцияq(x)=ψ(x+T)−ψ(x)q(x)=\psi(x+T)-\psi(x)периодична с тем же периодом, что и ψ\psi. Периодическая функция,
имеющая при x→+∞x\to+\infty предел, равный нулю, тождественно равна
нулю: если S>0S>0 — её период, то для любого фиксированного xxq(x)=q(x+nS)⟶0.q(x)=q(x+nS)\longrightarrow0.Следовательно, q(x)=0q(x)=0, то есть TT является периодом и функции
ψ\psi.
Поэтому функция h=φ−ψh=\varphi-\psi также периодична с периодом TT.
Для любого фиксированного xxh(x)=h(x+nT)⟶0,h(x)=h(x+nT)\longrightarrow0,откуда h(x)=0h(x)=0. Значит, функции тождественно совпадают.

Что и требовалось доказать

Демидович № 753 — решение и ответ