Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 721

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 721

y=lim⁡n→∞nx−n−xnx+n−xy=\lim_{n\to\infty}
\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}}
ПостроениеПредельная функция равна sgn⁡x\operatorname{sgn}x, непрерывна при
x≠0x\neq0 и имеет скачок 22 в точке x=0x=0.

Построение

Идея

Для любого x∈Rx\in\mathbb R и каждого натурального nn выражение определено,
поскольку знаменатель положителен. Умножим числитель и знаменатель на nxn^x:nx−n−xnx+n−x=n2x−1n2x+1\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}}
=\frac{n^{2x}-1}{n^{2x}+1}Если x>0x>0, то n2x→+∞n^{2x}\to+\infty, и предел равен 11. Если x<0x<0, то
n2x→0n^{2x}\to0, и предел равен −1-1. При x=0x=0 дробь равна нулю для каждого
nn. Следовательно,y={−1,x<0,0,x=0,1,x>0=sgn⁡xy=
\begin{cases}
-1, & x<0,\\[1mm]
0, & x=0,\\[1mm]
1, & x>0
\end{cases}
=\operatorname{sgn}x
  1. 1
    Функция непрерывна при x≠0x\neq0. В нулеlim⁡x→0−y=−1,lim⁡x→0+y=1\lim_{x\to0^-}y=-1,
    \qquad
    \lim_{x\to0^+}y=1    поэтому имеется разрыв первого рода со скачком 22.
  2. 2

    Построение графика

    График совпадает с графиком функции
    y=sgn⁡xy=\operatorname{sgn}x: два горизонтальных луча имеют открытые концы при
    x=0x=0, а значение функции в нуле равно нулю.график к задаче Демидовича № 721

Проверка

Ответ. Предельная функция равна sgn⁡x\operatorname{sgn}x, непрерывна при
x≠0x\neq0 и имеет скачок 22 в точке x=0x=0.
Демидович № 721 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика