Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 724

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 724

y=\lim_{n\to\infty}\frac{x}{1+(2\sin x)^{2n}}

ПостроениеФункция непрерывна при

x\notin B

и имеет разрыв первого рода
в каждой точке множества

B=\{k\pi+\frac\pi6:k\in\mathbb Z\}\cup\{k\pi+\frac{5\pi}6:k\in\mathbb Z\}

Построение

Идея

Положим

a=|2\sin x|

. Тогда

(2\sin x)^{2n}=a^{2n}

, и для каждого

x\in\mathbb R

все члены последовательности определены.

1
Если $a<1$ , то $a^{2n}\to0$ и предел равен $x$ . Если $a>1$ , то
$a^{2n}\to+\infty$ и предел равен нулю. При $a=1$ знаменатель равен $2$
для каждого $n$ , поэтому предел равен $\frac x2$ . Таким образом, $y=\begin{cases}x, & |\sin x|<\dfrac12,\\[2mm]\dfrac x2, & |\sin x|=\dfrac12,\\[2mm]0, & |\sin x|>\dfrac12\end{cases}$ Граничные точки образуют множество $B=\left\{k\pi+\frac\pi6:k\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{k\pi+\frac{5\pi}6:k\in\mathbb Z\right\}$ Вне $B$ в некоторой окрестности действует одна из непрерывных формул
$y=x$ или $y=0$ . Поэтому функция там непрерывна.

Пусть $a_k=k\pi+\frac\pi6,\qquadb_k=k\pi+\frac{5\pi}6$ В точке $a_k$ слева действует формула $y=x$ , а справа — формула $y=0$ .
В точке $b_k$ порядок формул обратный. Следовательно, $\lim_{x\to a_k^-}y=a_k,\qquad\lim_{x\to a_k^+}y=0,\qquady(a_k)=\frac{a_k}{2}$ и $\lim_{x\to b_k^-}y=0,\qquad\lim_{x\to b_k^+}y=b_k,\qquady(b_k)=\frac{b_k}{2}$ Оба односторонних предела конечны, но различны. Значит, во всех точках
множества $B$ имеются разрывы первого рода. Ориентированные скачки равны
$-a_k$ в точке $a_k$ и $b_k$ в точке $b_k$ .
2
Построение графика
Показан конечный фрагмент. На промежутках около чисел
$k\pi$ график лежит на прямой $y=x$ , а между ними — на оси $Ox$ . В каждой
граничной точке открыты положения на прямой и на оси, а значение
$y=\frac{x}{2}$ закрашено. $график к задаче Демидовича № 724$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при

x\notin B

и имеет разрыв первого рода
в каждой точке множества

B=\{k\pi+\frac\pi6:k\in\mathbb Z\}\cup\{k\pi+\frac{5\pi}6:k\in\mathbb Z\}