Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 724

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

y=\lim_{n\to\infty}\frac{x}{1+(2\sin x)^{2n}}

ПостроениеФункция непрерывна при

x\notin B

и имеет разрыв первого рода
в каждой точке множества

B=\{k\pi+\frac\pi6:k\in\mathbb Z\}\cup \{k\pi+\frac{5\pi}6:k\in\mathbb Z\}

Построение

Положим

a=|2\sin x|

. Тогда

(2\sin x)^{2n}=a^{2n}

, и для каждого

x\in\mathbb R

все члены последовательности определены.

Если

a<1

, то

a^{2n}\to0

и предел равен

x

. Если

a>1

, то

a^{2n}\to+\infty

и предел равен нулю. При

a=1

знаменатель равен

2

для каждого

n

, поэтому предел равен

\frac x2

. Таким образом,

y=\begin{cases}x, & |\sin x|<\dfrac12,\\[2mm]\dfrac x2, & |\sin x|=\dfrac12,\\[2mm]0, & |\sin x|>\dfrac12\end{cases}

Граничные точки образуют множество

B=\left\{k\pi+\frac\pi6:k\in\mathbb Z\right\}\cup\left\{k\pi+\frac{5\pi}6:k\in\mathbb Z\right\}

Вне

B

в некоторой окрестности действует одна из непрерывных формул

y=x

или

y=0

. Поэтому функция там непрерывна.

Пусть

a_k=k\pi+\frac\pi6,\qquadb_k=k\pi+\frac{5\pi}6

В точке

a_k

слева действует формула

y=x

, а справа — формула

y=0

.
В точке

b_k

порядок формул обратный. Следовательно,

\lim_{x\to a_k^-}y=a_k,\qquad\lim_{x\to a_k^+}y=0,\qquady(a_k)=\frac{a_k}{2}

\lim_{x\to b_k^-}y=0,\qquad\lim_{x\to b_k^+}y=b_k,\qquady(b_k)=\frac{b_k}{2}

Оба односторонних предела конечны, но различны. Значит, во всех точках
множества

B

имеются разрывы первого рода. Ориентированные скачки равны

-a_k

в точке

a_k

b_k

в точке

b_k

Показан конечный фрагмент. На промежутках около чисел

k\pi

график лежит на прямой

y=x

, а между ними — на оси

Ox

. В каждой
граничной точке открыты положения на прямой и на оси, а значение

y=\frac{x}{2}

закрашено. график к задаче Демидовича № 724