Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 732

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 732

Функция d=d(x)d=d(x) представляет собой кратчайшее расстояние точки
xx числовой оси OxOx от множества точек ее, состоящего из отрезков
0≤x≤10\le x\le1 и 2≤x≤32\le x\le3. Найти аналитическое выражение функции
dd, построить ее график и исследовать на непрерывность.
Выводd(x)={−x,x<00,0⩽x⩽1x−1,1<x⩽322−x,32<x<20,2⩽x⩽3x−3,x>3d(x)=
\begin{cases}
-x, & x<0\\
0, & 0\leqslant x\leqslant1\\
x-1, & 1<x\leqslant\dfrac32\\[1mm]
2-x, & \dfrac32<x<2\\[1mm]
0, & 2\leqslant x\leqslant3\\
x-3, & x>3
\end{cases}Функция непрерывна на R\mathbb R.

Решение

ОбозначимA=[0,1]∪[2,3]A=[0,1]\cup[2,3]Если x∈Ax\in A, то расстояние равно нулю. Слева от множества ближайшей
является точка 00, а справа — точка 33. В промежутке (1,2)(1,2)
надо сравнить расстояния до концов 11 и 22:d(x)=min⁡{x−1, 2−x}d(x)=\min\{x-1,\,2-x\}Эти расстояния равны приx−1=2−x⟺x=32x-1=2-x
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac32Поэтомуd(x)={−x,x<00,0⩽x⩽1x−1,1<x⩽322−x,32<x<20,2⩽x⩽3x−3,x>3d(x)=
\begin{cases}
-x, & x<0\\
0, & 0\leqslant x\leqslant1\\
x-1, & 1<x\leqslant\dfrac32\\[1mm]
2-x, & \dfrac32<x<2\\[1mm]
0, & 2\leqslant x\leqslant3\\
x-3, & x>3
\end{cases}Каждая часть непрерывна внутри своего промежутка. В точках стыка
0,1,2,30,1,2,3 соседние формулы дают значение 00, а при
x=32x=\frac32 обе формулы дают 12\frac12. Следовательно, все части
согласованы и функция непрерывна на всей числовой прямой.

Построение графика

Строим нулевые отрезки над [0,1][0,1] и [2,3][2,3],
две стороны равнобедренного треугольника над промежутком [1,2][1,2]
и два внешних луча.график к задаче Демидовича № 732