Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 741

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Обязательно ли будет разрывна в данной точке

x_0

сумма двух функций

f(x)+g(x)

, если:

а) функция

f(x)

непрерывна, а функция

g(x)

разрывна при

x=x_0

;

б) обе функции

f(x)

g(x)

разрывны при

x=x_0

?

Построить соответствующие примеры.

Ответ:Если

f

непрерывна, а

g

разрывна при

x_0

, то

f+g

обязательно разрывна при

x_0

.

Сумма двух разрывных функций может быть как непрерывной,
так и разрывной.

Решение

Идея

Используем соглашение

\operatorname{sgn} x= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 0, & x=0,\\ 1, & x>0. \end{cases}

1
Пункт а)
Сумма обязательно разрывна. Действительно, если бы
$f+g$ была непрерывна при $x_0$ , то разность $g=(f+g)-f$ также была бы непрерывна при $x_0$ , что противоречит условию.
Например, при $x_0=0$ можно взять $f(x)=0, \qquad g(x)=\operatorname{sgn} x$
2
Пункт б)
Однозначного ответа нет. При $x_0=0$ функции $f(x)=\operatorname{sgn} x, \qquad g(x)=-\operatorname{sgn} x$ обе разрывны, но их сумма тождественно равна нулю и непрерывна. Если же
взять $f(x)=g(x)=\operatorname{sgn} x$ то сумма $2\operatorname{sgn} x$ разрывна при $x=0$ .