Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 741

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 741

Обязательно ли будет разрывна в данной точке x0x_0 сумма двух функций
f(x)+g(x)f(x)+g(x), если:

а) функция f(x)f(x) непрерывна, а функция g(x)g(x) разрывна при
x=x0x=x_0;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) разрывны при x=x0x=x_0?

Построить соответствующие примеры.
Ответ:а) Если ff непрерывна, а gg разрывна при x0x_0, то
f+gf+g обязательно разрывна при x0x_0.

б) Сумма двух разрывных функций может быть как непрерывной,
так и разрывной.

Решение

Используем соглашениеsgn⁡x={−1,x<0,0,x=0,1,x>0.\operatorname{sgn} x=
\begin{cases}
-1, & x<0,\\
0, & x=0,\\
1, & x>0.
\end{cases}

Пункт а)

Сумма обязательно разрывна. Действительно, если бы
f+gf+g была непрерывна при x0x_0, то разностьg=(f+g)−fg=(f+g)-fтакже была бы непрерывна при x0x_0, что противоречит условию.
Например, при x0=0x_0=0 можно взятьf(x)=0,g(x)=sgn⁡xf(x)=0,
\qquad
g(x)=\operatorname{sgn} x

Пункт б)

Однозначного ответа нет. При x0=0x_0=0 функцииf(x)=sgn⁡x,g(x)=−sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn} x,
\qquad
g(x)=-\operatorname{sgn} xобе разрывны, но их сумма тождественно равна нулю и непрерывна. Если же
взятьf(x)=g(x)=sgn⁡xf(x)=g(x)=\operatorname{sgn} xто сумма 2sgn⁡x2\operatorname{sgn} x разрывна при x=0x=0.
Демидович № 741 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика