Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 726

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 726

y=lim⁡n→∞x+x2enx1+enxy=\lim_{n\to\infty}\frac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}
ПостроениеПредельная функция равна xx при x<0x<0, x2x^2 при x>0x>0 и
00 при x=0x=0; она непрерывна на R\mathbb R.

Построение

Идея

Для каждого x∈Rx\in\mathbb R знаменатель положителен. Если x<0x<0, то
enx→0e^{nx}\to0, поэтомуy=xy=xЕсли x>0x>0, разделим числитель и знаменатель на enxe^{nx}:x+x2enx1+enx=xe−nx+x2e−nx+1⟶x2\frac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}
=\frac{xe^{-nx}+x^2}{e^{-nx}+1}
\longrightarrow x^2При x=0x=0 исходная дробь равна нулю для каждого nn. Следовательно,y={x,x<0,0,x=0,x2,x>0y=
\begin{cases}
x, & x<0,\\[1mm]
0, & x=0,\\[1mm]
x^2, & x>0
\end{cases}
  1. 1
    Обе формулы дают в нуле предельное значение 00:lim⁡x→0−y=0,lim⁡x→0+y=0=y(0)\lim_{x\to0^-}y=0,
    \qquad
    \lim_{x\to0^+}y=0=y(0)    Значит, функция непрерывна на всей числовой прямой.
  2. 2

    Построение графика

    При x<0x<0 график является лучом прямой y=xy=x, а при
    x>0x>0 — правой частью параболы y=x2y=x^2. Обе части сходятся в начале
    координат.график к задаче Демидовича № 726

Проверка

Ответ. Предельная функция равна xx при x<0x<0, x2x^2 при x>0x>0 и
00 при x=0x=0; она непрерывна на R\mathbb R.
Демидович № 726 — решение и ответ