Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 725

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 725

y=\lim_{n\to\infty}\left[x\arctan(n\cot x)\right]

ПостроениеОбласть определения равна

D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

. Внутри

D

функция
разрывна в точках

x=\frac{2q}{\pi}

q\in\mathbb Z\setminus\{0\}

, и

x=\frac\pi2+k\pi

k\in\mathbb Z

; все эти разрывы первого рода. Во
всех остальных точках области определения функция непрерывна.

Построение

Идея

Квадратные скобки обозначают целую часть числа, то есть

[u]=\lfloor u\rfloor

. Исходное выражение не определено при

x\in\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

, поскольку в этих точках не определён

\cot x

. Непрерывно доопределять отдельные члены последовательности не
будем. Поэтому область определения предельной функции равна

D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

1
Пусть сначала $x\in D$ и $\cot x\neq0$ . Используем главную ветвь
арктангенса со значениями в $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ . Тогда $\arctan(n\cot x)\longrightarrow\frac\pi2\operatorname{sgn}(\cot x)$ Введём обозначение $L(x)=\frac{\pi x}{2}\operatorname{sgn}(\cot x)$ Если $L(x)\notin\mathbb Z$ , то для всех достаточно больших $n$ число
$x\arctan(n\cot x)$ лежит между теми же двумя соседними целыми числами, что
и $L(x)$ . Поэтому предел целых частей равен $\lfloor L(x)\rfloor$ .
2
Если $L(x)=m\in\mathbb Z$ , необходимо учитывать сторону приближения. При
$\cot x>0$ арктангенс стремится к $\frac\pi2$ снизу, а при $\cot x<0$ —
к $-\frac\pi2$ сверху. Отсюда $x\arctan(n\cot x)\begin{cases}\longrightarrow L(x)\text{ снизу}, & x\cot x>0,\\[1mm]\longrightarrow L(x)\text{ сверху}, & x\cot x<0\end{cases}$ Следовательно, в первом случае предел целых частей равен $m-1$ , а во
втором — $m$ . Наконец, если $\cot x=0$ , то
$\arctan(n\cot x)=0$ для каждого $n$ , и предельное значение равно нулю.
3
Итак, при $x\in D$ $y=\begin{cases}0, & \cot x=0,\\[1mm]\lfloor L(x)\rfloor-1,& L(x)\in\mathbb Z,\quad x\cot x>0,\\[1mm]\lfloor L(x)\rfloor, & \text{во всех остальных случаях}\end{cases}$ Поскольку при $\cot x\neq0$ имеем
$\operatorname{sgn}(\cot x)\in\{-1,1\}$ , условие
$L(x)\in\mathbb Z$ равносильно условию $\frac{\pi x}{2}\in\mathbb Z$ Следовательно, $x=\frac{2q}{\pi},\qquad q\in\mathbb Z\setminus\{0\}$
4
На каждом промежутке, не содержащем точек
$\frac{2q}{\pi}$ , нулей котангенса и исключённых точек $k\pi$ , знаки
$\cot x$ и положение $L(x)$ между соседними целыми постоянны. Поэтому
предельная функция там постоянна и непрерывна.

В достаточно малой окрестности каждой точки $x=\frac{2q}{\pi}$ , где
$q\neq0$ , нет нуля или полюса котангенса, поэтому знак $\cot x$ постоянен.
В этой окрестности $L(x)$ является линейной функцией и пересекает целый
уровень. Односторонние значения предельной функции различаются на $1$ ,
поэтому возникает разрыв первого рода.

В точках $x=\frac\pi2+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z$ котангенс меняет знак, а предельные значения $L(x)$ с двух сторон имеют
противоположные ненулевые знаки и модуль не меньше $\frac{\pi^2}{4}>2$ .
Поэтому односторонние пределы функции конечны, но различны; это также
разрывы первого рода. Значение самой функции в этих точках равно нулю.
5
Точки $k\pi$ не входят в область определения. В частности, около нуля
предельная функция равна нулю с обеих сторон, так что отверстие при $x=0$
можно было бы устранить доопределением $y(0)=0$ . При $k\neq0$ односторонние
предельные значения около $k\pi$ различны.
6
Построение графика
Показан конечный фрагмент на промежутке
$-2{,}1<x<2{,}1$ . Открытые маркеры показывают исключённую точку $x=0$ и
невключённые концы ступеней. Закрашенные маркеры фиксируют фактические
значения в точках $x=\frac{2q}{\pi}$ и $x=\pm\frac\pi2$ .
Все показанные абсциссы изменения ступеней подписаны; близкие подписи
$\pm\frac\pi2$ вынесены на второй уровень. $график к задаче Демидовича № 725$

Проверка

Ответ. Область определения равна

D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

. Внутри

D

функция
разрывна в точках

x=\frac{2q}{\pi}

q\in\mathbb Z\setminus\{0\}

, и

x=\frac\pi2+k\pi

k\in\mathbb Z

; все эти разрывы первого рода. Во
всех остальных точках области определения функция непрерывна.