Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 725

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

y=\lim_{n\to\infty}\bigl(x\arctan(n\cot x)\bigr).

ПостроениеНа

D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

имеем

y=(\pi x/2)\operatorname{sgn}(\cot x)

. Разрывы первого рода возникают при

x=k\pi/2

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

; при

x=0

предел равен нулю и возможно непрерывное доопределение. В остальных точках функция непрерывна.

Построение

Область определения:

D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

, поскольку котангенс не определён при

x=k\pi

. Зафиксируем

x\in D

Если

\cot x>0

, то

n\cot x\to+\infty

, и

\arctan(n\cot x)\to\pi/2

. Если

\cot x<0

, предел арктангенса равен

-\pi/2

. Если

\cot x=0

, каждый член равен нулю. Поэтому

y=\frac{\pi x}{2}\operatorname{sgn}(\cot x).

Котангенс положителен на

(k\pi,k\pi+\pi/2)

и отрицателен на

(k\pi+\pi/2,(k+1)\pi)

. Следовательно,

y=\begin{cases}\pi x/2,&k\pi<x<k\pi+\pi/2,\\0,&x=k\pi+\pi/2,\\-\pi x/2,&k\pi+\pi/2<x<(k+1)\pi,\end{cases}\qquad k\in\mathbb Z.

Внутри открытых промежутков функция линейна и непрерывна.

В точке

a=k\pi+\pi/2

односторонние пределы равны

\pi a/2

-\pi a/2

, а

y(a)=0

. Поскольку

a\ne0

, пределы различны: это разрыв первого рода.

В исключённой точке

a=k\pi

k\ne0

, слева котангенс отрицателен, справа положителен. Поэтому пределы равны

-\pi a/2

\pi a/2

; они также различны. В нуле обе стороны дают предел

0

: рядом с нулём

y=\pi|x|/2

. Значит, только отверстие при

x=0

можно устранить значением

y(0)=0

на указанных промежутках чередуем участки прямых

y=\pi x/2

y=-\pi x/2

. При

x=k\pi+\pi/2

отмечаем отдельное значение

0

; при

x=k\pi

все точки исключены. Функция чётная, поскольку оба множителя

x

\operatorname{sgn}(\cot x)

нечётны.