Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 755

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если функция

f(x)

обладает следующими свойствами:

1) определена и монотонна на сегменте

[a,b]

;

2) в качестве своих значений принимает все числа между

f(a)

f(b)

,

то эта функция непрерывна на

[a,b]

Доказано:Функция

f

непрерывна на всём сегменте

[a,b]

Доказательство

Пусть для определённости

f

не убывает. В любой внутренней точке

x_0\in(a,b)

существуют пределы

f(x_0^-)=\sup_{x<x_0}f(x), \qquad f(x_0^+)=\inf_{x>x_0}f(x)

f(x_0^-)\leqslant f(x_0)\leqslant f(x_0^+)

Если бы

f(x_0^-)<f(x_0)

, то любое число

\lambda

, для которого

f(x_0^-)<\lambda<f(x_0)

не принималось бы функцией: слева от

x_0

её значения меньше

\lambda

, а начиная с

x_0

— больше. Это противоречит второму
условию. Поэтому

f(x_0^-)=f(x_0)

. Если бы

f(x_0)<f(x_0^+)

, выберем число

\lambda

так, что

f(x_0)<\lambda<f(x_0^+).

При

x\leqslant x_0

имеем

f(x)\leqslant f(x_0)<\lambda

, а при

x>x_0

—

f(x)\geqslant f(x_0^+)>\lambda

. Значение

\lambda

снова
не принималось бы функцией. Следовательно,

f(x_0)=f(x_0^+).

Значит, функция непрерывна в каждой внутренней точке.

В точке

a

неравенство

f(a)<f(a^+)

оставило бы непринятыми все числа строго между ними: при

x=a

значение меньше этих чисел, а при

x>a

— больше. Поэтому

f(a)=f(a^+)

. В точке

b

неравенство

f(b^-)<f(b)

также оставило бы промежуток непринятых значений: при

x<b

значения ниже этого промежутка, при

x=b

— выше. Значит,

f(b^-)=f(b)

. Если

a=b

, непрерывность на одноточечном отрезке следует непосредственно из определения.
Для невозрастающей функции достаточно применить доказанное к функции

-f

Что и требовалось доказать