Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 755

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 755

Доказать, что если функция f(x)f(x) обладает следующими свойствами:

1) определена и монотонна на сегменте [a,b][a,b];

2) в качестве своих значений принимает все числа между f(a)f(a) и
f(b)f(b),

то эта функция непрерывна на [a,b][a,b].
Доказано:Функция ff непрерывна на всём сегменте [a,b][a,b].

Доказательство

Идея

Пусть для определённости ff не убывает. В любой внутренней точке
x0∈(a,b)x_0\in(a,b) существуют пределыf(x0−)=sup⁡x<x0f(x),f(x0+)=inf⁡x>x0f(x)f(x_0^-)=\sup_{x<x_0}f(x),
\qquad
f(x_0^+)=\inf_{x>x_0}f(x)иf(x0−)⩽f(x0)⩽f(x0+)f(x_0^-)\leqslant f(x_0)\leqslant f(x_0^+)Если бы f(x0−)<f(x0)f(x_0^-)<f(x_0), то любое число λ\lambda, для которогоf(x0−)<λ<f(x0)f(x_0^-)<\lambda<f(x_0)не принималось бы функцией: слева от x0x_0 её значения меньше
λ\lambda, а начиная с x0x_0 — больше. Это противоречит второму
условию. Поэтому f(x0−)=f(x0)f(x_0^-)=f(x_0). Аналогично из невозможности
пропустить значения между f(x0)f(x_0) и f(x0+)f(x_0^+) следуетf(x0)=f(x0+)f(x_0)=f(x_0^+)Значит, функция непрерывна в каждой внутренней точке.
Тем же рассуждением у концов сегмента получаемf(a)=f(a+),f(b−)=f(b)f(a)=f(a^+),
\qquad
f(b^-)=f(b)Для невозрастающей функции достаточно применить доказанное к функции
−f-f.

Что и требовалось доказать

Демидович № 755 — решение и ответ