Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 758

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 758

Пусть f(x)f(x) непрерывна в интервале (a,b)(a,b) иl=lim‾⁡x→af(x)иL=lim‾⁡x→af(x)l=\varliminf_{x\to a}f(x)
\quad\text{и}\quad
L=\varlimsup_{x\to a}f(x)Доказать, что, каково бы ни было число λ\lambda, где
l⩽λ⩽Ll\leqslant\lambda\leqslant L, существует последовательность
xn→ax_n\to a (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) такая, чтоlim⁡n→∞f(xn)=λ\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lambda
Доказано:Для каждого λ∈[l,L]\lambda\in[l,L] существует
последовательность xn→ax_n\to a, для которойlim⁡n→∞f(xn)=λ\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lambda

Доказательство

Идея

Зафиксируем λ∈[l,L]\lambda\in[l,L]. Для каждого натурального nn в
интервалеIn=(a,min⁡{b,a+1n})I_n=\left(a,\min\left\{b,a+\frac1n\right\}\right)можно выбрать точки unu_n и vnv_n, для которыхf(un)<λ+1n,f(vn)>λ−1nf(u_n)<\lambda+\frac1n,
\qquad
f(v_n)>\lambda-\frac1nДействительно, отсутствие первой точки в некоторой достаточно малой
правой окрестности числа aa означало бы
l⩾λ+1nl\geqslant\lambda+\dfrac1n, а отсутствие второй —
L⩽λ−1nL\leqslant\lambda-\dfrac1n.

Проверка

Если f(un)=λf(u_n)=\lambda, положим xn=unx_n=u_n; если
f(vn)=λf(v_n)=\lambda, положим xn=vnx_n=v_n. Если значения f(un)f(u_n) и
f(vn)f(v_n) лежат строго по разные стороны от λ\lambda, то по
теореме о промежуточных значениях между unu_n и vnv_n существует
точка xnx_n, где f(xn)=λf(x_n)=\lambda. Если оба значения больше
λ\lambda, берём xn=unx_n=u_n, а если оба меньше — xn=vnx_n=v_n.
В каждом случаеxn∈In,∣f(xn)−λ∣<1nx_n\in I_n,
\qquad
|f(x_n)-\lambda|<\frac1nСледовательно, xn→ax_n\to a и f(xn)→λf(x_n)\to\lambda.

Что и требовалось доказать

Демидович № 758 — решение и ответ