Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 740

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Функция

f(x)

теряет смысл при

x=0

. Определить число

f(0)

так, чтобы

f(x)

была непрерывна при

x=0

, если:

\text{а) }f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}; \qquad \text{б) }f(x)=\frac{\operatorname{tg}2x}{x}

\text{в) }f(x)=\sin x\sin\frac1x; \qquad \text{г) }f(x)=(1+x)^{\frac1x}

\text{д) }f(x)=\frac1{x^2}e^{-\frac1{x^2}}; \qquad \text{е) }f(x)=x^x\quad(x>0)

\text{ж) }f(x)=x\ln^2x

Ответ:

f(0)=\frac32

f(0)=2

f(0)=0

f(0)=e

f(0)=0

Для непрерывного продолжения справа следует положить

f(0)=1

Для непрерывного продолжения справа следует положить

f(0)=0

Решение

Идея

В каждом пункте значение

f(0)

должно равняться соответствующему
пределу при

x\to0

. В пунктах е) и ж) рассматривается правый предел,
поскольку исходные функции заданы только при

x>0

1
Пункт а)
Используем эквивалентности $\sqrt{1+x}-1\sim\frac x2, \qquad \sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac x3$ Поэтому $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\frac32$
2
Пункт б)
Имеем $\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}2x}{x} =2\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}2x}{2x}=2$
3
Пункт в)
Так как $\left|\sin\dfrac1x\right|\leqslant1$ , то $\left|\sin x\sin\frac1x\right|\leqslant|\sin x|\longrightarrow0$
4
Пункт г)
Это второй замечательный предел: $\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e$
5
Пункт д)
Положим $u=\dfrac1{x^2}$ . Тогда при $x\to0$
параметр $u\to+\infty$ , и $\frac1{x^2}e^{-\frac1{x^2}}=ue^{-u}\longrightarrow0$
6
Пункт е)
При $x\to0^+$ $x^x=e^{x\ln x}$ Поскольку $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ получаем $\lim_{x\to0^+}x^x=1$
7
Пункт ж)
Положим $x=e^{-t}$ . При $x\to0^+$ имеем
$t\to+\infty$ , поэтому $x\ln^2x=e^{-t}t^2\longrightarrow0$