Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 739

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 739

Показать, что при любом выборе числа f(1)f(1) функцияf(x)=11−xf(x)=\frac1{1-x}будет разрывна при x=1x=1.
Доказано:Ни при каком конечном выборе f(1)f(1) функция не будет
непрерывной при x=1x=1; эта точка является точкой разрыва второго рода.

Доказательство

Односторонние пределы функции при x=1x=1 равныlim⁡x→1−11−x=+∞,lim⁡x→1+11−x=−∞\lim_{x\to1^-}\frac1{1-x}=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to1^+}\frac1{1-x}=-\inftyСледовательно, конечного предела при x→1x\to1 не существует. Выбор
значения в одной точке не изменяет поведения функции в её проколотой
окрестности, поэтому устранить разрыв невозможно.

Что и требовалось доказать