Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 747

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если функция

f(x)

непрерывна, то функция

f_c(x)= \begin{cases} -c, & f(x)<-c\\ f(x), & |f(x)|\leqslant c\\ c, & f(x)>c \end{cases}

где

c

— любое положительное число, также непрерывна.

Доказано:При любом

c>0

функция

f_c

непрерывна всюду, где
непрерывна функция

f

Доказательство

Обозначим

u=f(x)

. Проверим формулу

f_c(x)=\frac{|f(x)+c|-|f(x)-c|}{2}.

Если

u<-c

, её правая часть равна

\frac{-(u+c)+(u-c)}2=\frac{-2c}2=-c.

Если

-c\leqslant u\leqslant c

, получаем

\frac{(u+c)+(u-c)}2=\frac{2u}2=u.

Если

u>c

, получаем

\frac{(u+c)-(u-c)}2=\frac{2c}2=c.

Таким образом, формула верна во всех трёх случаях. Функции

f+c

f-c

непрерывны; по №746 непрерывны и их модули. Разность этих модулей, делённая на два, также непрерывна.

Что и требовалось доказать