Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 747

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если функция

f(x)

непрерывна, то функция

f_c(x)= \begin{cases} -c, & f(x)<-c\\ f(x), & |f(x)|\leqslant c\\ c, & f(x)>c \end{cases}

где

c

— любое положительное число, также непрерывна.

Доказано:При любом

c>0

функция

f_c

непрерывна всюду, где
непрерывна функция

f

Доказательство

Идея

Кусочно заданную функцию можно записать одной формулой:

f_c(x)=\frac{|f(x)+c|-|f(x)-c|}{2}

Действительно, при

f(x)<-c

|f(x)|\leqslant c

f(x)>c

эта формула даёт соответственно

-c

f(x)

c

. Функции

f(x)+c

f(x)-c

непрерывны. По предыдущей задаче их модули
также непрерывны, а значит, непрерывна их разность, делённая на два.

Что и требовалось доказать