Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 715

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=\frac1{\sin(x^2)}

ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте

D

.
Вертикальные асимптоты имеют уравнения

x=0

x=\pm\sqrt{k\pi}

k\in\mathbb N

Решение

Знаменатель обращается в нуль, когда

x^2=k\pi

. Поскольку

x^2\geqslant0

, область определения равна

D=\mathbb R\setminus\left(\{0\}\cup\left\{\pm\sqrt{k\pi}:k\in\mathbb N\right\}\right)

На каждой связной компоненте

D

функция непрерывна. Все исключённые
точки задают вертикальные асимптоты. В частности, при

x\to0

\frac1{\sin(x^2)}\sim\frac1{x^2}\longrightarrow+\infty

Функция чётная. Если

k\pi<x^2<(k+1)\pi,\qquad k=0,1,2,\ldots

то знак функции равен

(-1)^k

. На каждой ветви модуль функции не
меньше единицы, причём

|y|=1\quad\text{при}\quadx=\pm\sqrt{\frac\pi2+k\pi},\qquady=(-1)^k,\qquad k=0,1,2,\ldots

Предела при

x\to+\infty

нет, что непосредственно показывают
последовательности

x_n=\sqrt{\frac\pi2+2n\pi},\qquadz_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2n\pi}

Для них

y(x_n)=1

, а

y(z_n)=-1

. В силу чётности предела нет и при

x\to-\infty

Раздельно строим положительные и отрицательные
ветви между соседними асимптотами

x=\pm\sqrt{k\pi}

. Асимптота

x=0

совпадает с осью

Oy

. Неподписанные пунктирные линии отвечают
остальным показанным значениям

\pm\sqrt{k\pi}

. Показан конечный
фрагмент; чередование продолжается в обе стороны. график к задаче Демидовича № 715