Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 715

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=\frac1{\sin(x^2)}

ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте

D

.
Вертикальные асимптоты имеют уравнения

x=0

x=\pm\sqrt{k\pi}

k\in\mathbb N

Решение

Идея

Знаменатель обращается в нуль, когда

x^2=k\pi

. Поскольку

x^2\geqslant0

, область определения равна

D=\mathbb R\setminus\left(\{0\}\cup\left\{\pm\sqrt{k\pi}:k\in\mathbb N\right\}\right)

На каждой связной компоненте

D

функция непрерывна. Все исключённые
точки задают вертикальные асимптоты. В частности, при

x\to0

\frac1{\sin(x^2)}\sim\frac1{x^2}\longrightarrow+\infty

1
Функция чётная. Если $k\pi<x^2<(k+1)\pi,\qquad k=0,1,2,\ldots$ то знак функции равен $(-1)^k$ . На каждой ветви модуль функции не
меньше единицы, причём $|y|=1\quad\text{при}\quadx=\pm\sqrt{\frac\pi2+k\pi},\qquady=(-1)^k,\qquad k=0,1,2,\ldots$ Предела при $x\to+\infty$ нет, что непосредственно показывают
последовательности $x_n=\sqrt{\frac\pi2+2n\pi},\qquadz_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2n\pi}$ Для них $y(x_n)=1$ , а $y(z_n)=-1$ . В силу чётности предела нет и при
$x\to-\infty$ .
2
Построение графика
Раздельно строим положительные и отрицательные
ветви между соседними асимптотами $x=\pm\sqrt{k\pi}$ . Асимптота
$x=0$ совпадает с осью $Oy$ . Неподписанные пунктирные линии отвечают
остальным показанным значениям $\pm\sqrt{k\pi}$ . Показан конечный
фрагмент; чередование продолжается в обе стороны. $график к задаче Демидовича № 715$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на каждой связной компоненте

D

.
Вертикальные асимптоты имеют уравнения

x=0

x=\pm\sqrt{k\pi}

k\in\mathbb N