Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 743

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 743

Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная
функция?

Построить пример всюду разрывной функции, квадрат которой есть функция
непрерывная.
Ответ:Утверждение неверно. Приведённая всюду разрывная функция,
равная 11 на Q\mathbb Q и −1-1 на
R∖Q\mathbb R\setminus\mathbb Q, имеет непрерывный квадратf2(x)≡1f^2(x)\equiv1

Решение

Проверка

Рассмотрим функциюf(x)={1,x∈Q−1,x∉Qf(x)=
\begin{cases}
1, & x\in\mathbb Q\\
-1, & x\notin\mathbb Q
\end{cases}В любой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и
иррациональные числа. Поэтому вдоль последовательностей этих двух типов
значения функции равны соответственно 11 и −1-1, и предела нет ни
в одной точке. Следовательно, ff всюду разрывна. Однакоf2(x)=1f^2(x)=1при всех xx, то есть квадрат функции непрерывен на всей числовой
прямой.
Демидович № 743 — решение и ответ