Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 748

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 748

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна на сегменте [a,b][a,b],
то функцииm(x)=inf⁡a⩽ξ⩽x{f(ξ)}иM(x)=sup⁡a⩽ξ⩽x{f(ξ)}m(x)=\inf_{a\leqslant\xi\leqslant x}\{f(\xi)\}
\quad\text{и}\quad
M(x)=\sup_{a\leqslant\xi\leqslant x}\{f(\xi)\}также непрерывны на [a,b][a,b].
Доказано:Функции m(x)m(x) и M(x)M(x) непрерывны на всём сегменте
[a,b][a,b].

Доказательство

Идея

На каждом сегменте [a,x][a,x] непрерывная функция достигает минимума и
максимума, поэтому в определениях можно заменить inf⁡\inf и sup⁡\sup
на min⁡\min и max⁡\max.
Так как ff непрерывна на компактном сегменте [a,b][a,b], она
равномерно непрерывна. Введём модуль непрерывностиω(δ)=sup⁡u,v∈[a,b]∣u−v∣⩽δ∣f(u)−f(v)∣\omega(\delta)=
\sup_{\substack{u,v\in[a,b]\\|u-v|\leqslant\delta}}
|f(u)-f(v)|Тогда ω(δ)→0\omega(\delta)\to0 при δ→0+\delta\to0^+.

Пусть a⩽x<y⩽ba\leqslant x<y\leqslant b. Функция MM не убывает. Если
M(y)=M(x)M(y)=M(x), то разность равна нулю. Если M(y)>M(x)M(y)>M(x), новый
максимум достигается в некоторой точке z∈[x,y]z\in[x,y]. Поскольку
f(x)⩽M(x)f(x)\leqslant M(x),0<M(y)−M(x)=f(z)−M(x)⩽f(z)−f(x)⩽ω(y−x)0<M(y)-M(x)=f(z)-M(x)
\leqslant f(z)-f(x)
\leqslant\omega(y-x)Следовательно,∣M(y)−M(x)∣⩽ω(∣y−x∣)|M(y)-M(x)|\leqslant\omega(|y-x|)

Проверка

Аналогично функция mm не возрастает. Если на [x,y][x,y] появляется
новый минимум в точке zz, то0<m(x)−m(y)=m(x)−f(z)⩽f(x)−f(z)⩽ω(y−x)0<m(x)-m(y)=m(x)-f(z)
\leqslant f(x)-f(z)
\leqslant\omega(y-x)Поэтому∣m(y)−m(x)∣⩽ω(∣y−x∣)|m(y)-m(x)|\leqslant\omega(|y-x|)Обе правые части стремятся к нулю вместе с ∣y−x∣|y-x|, причём оценки
действуют и у концов сегмента.

Что и требовалось доказать

Демидович № 748 — решение и ответ