Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 748

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 748

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна на сегменте [a,b][a,b],
то функцииm(x)=inf⁡a⩽ξ⩽x{f(ξ)}иM(x)=sup⁡a⩽ξ⩽x{f(ξ)}m(x)=\inf_{a\leqslant\xi\leqslant x}\{f(\xi)\}
\quad\text{и}\quad
M(x)=\sup_{a\leqslant\xi\leqslant x}\{f(\xi)\}также непрерывны на [a,b][a,b].
Доказано:Функции m(x)m(x) и M(x)M(x) непрерывны на всём сегменте
[a,b][a,b].

Доказательство

Поскольку ff непрерывна на [a,b][a,b], она ограничена на этом отрезке. Поэтому числа m(x)m(x) и M(x)M(x) конечны при всех x∈[a,b]x\in[a,b].
Сначала докажем непрерывность MM в произвольной точке x0∈[a,b]x_0\in[a,b]. Если xx увеличивается, множество [a,x][a,x] расширяется, так что MM не убывает.

Пусть ε>0\varepsilon>0. Из непрерывности ff в x0x_0 выбираем δ>0\delta>0 так, чтобы∣f(z)−f(x0)∣<ε3при z∈[a,b], ∣z−x0∣<δ.|f(z)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{3}
\quad\text{при }z\in[a,b],\ |z-x_0|<\delta.Рассмотрим t∈[a,b]t\in[a,b] с ∣t−x0∣<δ|t-x_0|<\delta.
Если t>x0t>x_0, то на старой части [a,x0][a,x_0] значения ff не превосходят M(x0)M(x_0). На новой части [x0,t][x_0,t] имеемf(z)<f(x0)+ε3⩽M(x0)+ε3.f(z)<f(x_0)+\frac{\varepsilon}{3}
\leqslant M(x_0)+\frac{\varepsilon}{3}.Значит,0⩽M(t)−M(x0)⩽ε3<ε.0\leqslant M(t)-M(x_0)\leqslant\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon.Если t<x0t<x_0, то M(t)⩾f(t)>f(x0)−ε/3M(t)\geqslant f(t)>f(x_0)-\varepsilon/3. Для z∈[t,x0]z\in[t,x_0] поэтомуf(z)<f(x0)+ε3<M(t)+2ε3.f(z)<f(x_0)+\frac{\varepsilon}{3}
<M(t)+\frac{2\varepsilon}{3}.На [a,t][a,t] значения ff не превосходят M(t)M(t); следовательно, на всём [a,x0][a,x_0] они не превосходят M(t)+2ε/3M(t)+2\varepsilon/3. Получаем0⩽M(x0)−M(t)⩽2ε3<ε.0\leqslant M(x_0)-M(t)\leqslant\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon.При t=x0t=x_0 разность равна нулю. Во всех случаях ∣M(t)−M(x0)∣<ε|M(t)-M(x_0)|<\varepsilon, что и доказывает непрерывность. У концов отрезка используются только точки из [a,b][a,b].

Наконец, применим уже доказанное к непрерывной функции −f-f. По определению верхней и нижней гранейsup⁡a⩽ξ⩽x(−f(ξ))=−inf⁡a⩽ξ⩽xf(ξ)=−m(x).\sup_{a\leqslant\xi\leqslant x}(-f(\xi))
=-\inf_{a\leqslant\xi\leqslant x}f(\xi)=-m(x).Левая часть непрерывна, поэтому непрерывна и mm.

Что и требовалось доказать

Демидович № 748 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика