Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 737

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 737

Исследовать на непрерывность функцию f(x)f(x), заданную следующим образом:f(x)=nxn+1f(x)=\frac{nx}{n+1}если xx есть несократимая рациональная дробь mn\frac mn
(n≥1)(n\ge1), иf(x)=∣x∣f(x)=|x|если xx — иррациональное число. Построить эскиз графика этой функции.
ВыводФункция непрерывна в точке x=0x=0 и при всех положительных
иррациональных значениях xx. Она разрывна при всех x<0x<0 и при всех
положительных рациональных значениях xx.

Решение

Для рационального x=mnx=\frac mn, записанного в несократимом виде с
n⩾1n\geqslant1, удобно переписать значение функции какf(x)=mn+1f(x)=\frac{m}{n+1}
Сначала рассмотрим точку a=0a=0. Для рационального xx множитель
nn+1\frac{n}{n+1} лежит между 00 и 11, а для иррационального
f(x)=∣x∣f(x)=|x|. Поэтому во всех случаях∣f(x)∣⩽∣x∣|f(x)|\leqslant|x|и lim⁡x→0f(x)=0=f(0)\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0). Значит, функция непрерывна в нуле.

Пусть теперь a>0a>0 иррационально. Для иррациональных xx, достаточно
близких к aa, имеем f(x)=∣x∣=xf(x)=|x|=x. Рассмотрим рациональную
последовательность xk=mknk→ax_k=\frac{m_k}{n_k}\to a, где все дроби записаны
в несократимом виде. Для любого NN в ограниченном промежутке имеется
лишь конечное число таких дробей со знаменателями nk⩽Nn_k\leqslant N.
Так как их конечное множество не содержит иррационального числа aa,
последовательность xk→ax_k\to a в конце концов не попадает в это
множество. Следовательно, nk→∞n_k\to\infty, и потомуf(xk)=xk−xknk+1→af(x_k)=x_k-\frac{x_k}{n_k+1}\to aТеперь возьмём произвольную последовательность zk→az_k\to a. Её
рациональная подпоследовательность, если она бесконечна, после применения
доказанного выше даёт предел aa. Иррациональная подпоследовательность,
если она бесконечна, также даёт предел aa, поскольку
f(zk)=∣zk∣→af(z_k)=|z_k|\to a. Поэтому вся последовательность f(zk)f(z_k)
стремится к aa. По последовательному критериюlim⁡x→af(x)=a=∣a∣=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=a=|a|=f(a)Таким образом, при любом иррациональном a>0a>0 функция непрерывна.
Если a>0a>0 рационально и имеет знаменатель qq, тоf(a)=qaq+1≠af(a)=\frac{qa}{q+1}\ne aно вдоль иррациональных x→ax\to a имеем f(x)=∣x∣→af(x)=|x|\to a. Поэтому
каждая положительная рациональная точка является точкой разрыва.

Наконец, пусть a<0a<0. Вдоль иррациональных чиселf(x)=∣x∣→∣a∣=−af(x)=|x|\to|a|=-aПо плотности рациональных чисел выберем последовательность различных
рациональных чиселxk=mknk→ax_k=\frac{m_k}{n_k}\to aгде дроби несократимы. Она лежит в некотором ограниченном промежутке,
а дробей с ограниченными знаменателями в таком промежутке лишь конечное
число. Поэтому nk→∞n_k\to\infty, и вдоль этой последовательностиf(xk)=xk−xknk+1→af(x_k)=x_k-\frac{x_k}{n_k+1}\to aЭти пределы различны, поэтому функция разрывна при каждом a<0a<0.

Построение графика

Истинный график точечный. Иррациональные точки лежат
на y=∣x∣y=|x|; на схеме приведено несколько таких точек, например для
абсцисс 2\sqrt2, π2\frac\pi2 и ee, причём их положения нанесены
приближённо. Рациональная точка mn\frac mn имеет ординату
mn+1\frac{m}{n+1}; на рисунке показаны дроби со знаменателями
1⩽n⩽81\leqslant n\leqslant8, а координаты нанесены с округлением.
Точки не соединяем.график к задаче Демидовича № 737
Демидович № 737 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика