Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 737

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 737

Исследовать на непрерывность функцию

f(x)

, заданную следующим образом:

f(x)=\frac{nx}{n+1}

если

x

есть несократимая рациональная дробь

\frac mn

(n\ge1)

, и

f(x)=|x|

если

x

— иррациональное число. Построить эскиз графика этой функции.

ВыводФункция непрерывна в точке

x=0

и при всех положительных
иррациональных значениях

x

. Она разрывна при всех

x<0

и при всех
положительных рациональных значениях

x

Решение

Идея

Для рационального

x=\frac mn

, записанного в несократимом виде с

n\geqslant1

, удобно переписать значение функции как

f(x)=\frac{m}{n+1}

1
Сначала рассмотрим точку $a=0$ . Для рационального $x$ множитель
$\frac{n}{n+1}$ лежит между $0$ и $1$ , а для иррационального
$f(x)=|x|$ . Поэтому во всех случаях $|f(x)|\leqslant|x|$ и $\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)$ . Значит, функция непрерывна в нуле.

Пусть теперь $a>0$ иррационально. Для иррациональных $x$ , достаточно
близких к $a$ , имеем $f(x)=|x|=x$ . Рассмотрим рациональную
последовательность $x_k=\frac{m_k}{n_k}\to a$ , где все дроби записаны
в несократимом виде. Для любого $N$ в ограниченном промежутке имеется
лишь конечное число таких дробей со знаменателями $n_k\leqslant N$ .
Так как их конечное множество не содержит иррационального числа $a$ ,
последовательность $x_k\to a$ в конце концов не попадает в это
множество. Следовательно, $n_k\to\infty$ , и потому $f(x_k)=x_k-\frac{x_k}{n_k+1}\to a$ Теперь возьмём произвольную последовательность $z_k\to a$ . Её
рациональная подпоследовательность, если она бесконечна, после применения
доказанного выше даёт предел $a$ . Иррациональная подпоследовательность,
если она бесконечна, также даёт предел $a$ , поскольку
$f(z_k)=|z_k|\to a$ . Поэтому вся последовательность $f(z_k)$
стремится к $a$ . По последовательному критерию $\lim_{x\to a}f(x)=a=|a|=f(a)$ Таким образом, при любом иррациональном $a>0$ функция непрерывна.
2
Если $a>0$ рационально и имеет знаменатель $q$ , то $f(a)=\frac{qa}{q+1}\ne a$ но вдоль иррациональных $x\to a$ имеем $f(x)=|x|\to a$ . Поэтому
каждая положительная рациональная точка является точкой разрыва.

Наконец, пусть $a<0$ . Вдоль иррациональных чисел $f(x)=|x|\to|a|=-a$ По плотности рациональных чисел выберем последовательность различных
рациональных чисел $x_k=\frac{m_k}{n_k}\to a$ где дроби несократимы. Она лежит в некотором ограниченном промежутке,
а дробей с ограниченными знаменателями в таком промежутке лишь конечное
число. Поэтому $n_k\to\infty$ , и вдоль этой последовательности $f(x_k)=x_k-\frac{x_k}{n_k+1}\to a$ Эти пределы различны, поэтому функция разрывна при каждом $a<0$ .
3
Построение графика
Истинный график точечный. Иррациональные точки лежат
на $y=|x|$ ; на схеме приведено несколько таких точек, например для
абсцисс $\sqrt2$ , $\frac\pi2$ и $e$ , причём их положения нанесены
приближённо. Рациональная точка $\frac mn$ имеет ординату
$\frac{m}{n+1}$ ; на рисунке показаны дроби со знаменателями
$1\leqslant n\leqslant8$ , а координаты нанесены с округлением.
Точки не соединяем. $график к задаче Демидовича № 737$