Демидович — задача 736

1. 1
   Пусть $a=\frac pq\in\mathbb Q$, где дробь несократима. Тогда$$f(a)=\frac1q>0$$Если бы функция была непрерывна в точке $a$, то для любой
   последовательности $s_k\to a$ выполнялось бы
   $f(s_k)\to f(a)$. Однако можно выбрать иррациональные $s_k\to a$,
   и тогда$$f(s_k)=0\to0,$$
   \qquad
   f(a)=\frac1q>0Получили противоречие с последовательным критерием непрерывности.
   Следовательно, функция разрывна в каждой рациональной точке. В частности,
   $0=\frac01$, поэтому $f(0)=1$, что также отражено на графике.
2. 2
   Теперь пусть $a\notin\mathbb Q$, тогда $f(a)=0$. Возьмём
   $\varepsilon>0$ и выберем $N\in\mathbb N$ так, чтобы$$\frac1N<\varepsilon$$На отрезке $[a-1,a+1]$ имеется лишь конечное число несократимых
   рациональных дробей со знаменателями $n\leqslant N$: для каждого из
   конечного числа знаменателей числитель ограничен. Обозначим множество
   этих дробей через $F_N$. Поскольку $a\notin F_N$, можно выбрать$$0<\delta<\min\left\{1,\min_{r\in F_N}|a-r|\right\}$$Если $|x-a|<\delta$, то либо $x$ иррационально и $f(x)=0$, либо
   $x=\frac mn$ в несократимом виде и обязательно $n>N$. Во втором
   случае$$|f(x)-f(a)|=\frac1n<\frac1N<\varepsilon$$Следовательно, функция непрерывна в каждой иррациональной точке.
3. 3

   Построение графика

   Показываем конечный фрагмент «попкорн-графика».
   Для рациональной точки $\frac mn$ высота равна $\frac1n$; на рисунке
   нанесены
   все такие точки со знаменателями $1\leqslant n\leqslant9$ в выбранном
   окне. Не показанные точки с большими знаменателями лежат ещё ближе к оси
   $Ox$. Иррациональные точки на оси отмечены приближёнными абсциссами
   заранее выбранных иррациональных чисел из задачи 734. Точки не соединяем.

Что и требовалось доказать