Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 736

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 736

Доказать, что функция Риманаf(x)={1n,если x=mn, где m и n взаимно простые числа;0,если x иррациональноf(x)=\begin{cases}
\dfrac1n,&\text{если }x=\dfrac mn,\text{ где }m\text{ и }n
\text{ взаимно простые числа};\\[2mm]
0,&\text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}разрывна при каждом рациональном значении xx и непрерывна при каждом
иррациональном значении xx. Построить эскиз графика этой функции.

Опирается на

Доказательство

Считаем n∈Nn\in\mathbb N положительным знаменателем несократимой дроби.
Пусть a=pq∈Qa=\frac pq\in\mathbb Q, где дробь несократима. Тогдаf(a)=1q>0f(a)=\frac1q>0Если бы функция была непрерывна в точке aa, то для любой
последовательности sk→as_k\to a выполнялось бы
f(sk)→f(a)f(s_k)\to f(a). Однако можно выбрать иррациональные sk→as_k\to a,
и тогдаf(sk)=0→0,f(a)=1q>0f(s_k)=0\to0,
\qquad
f(a)=\frac1q>0Получили противоречие с последовательным критерием непрерывности.
Следовательно, функция разрывна в каждой рациональной точке. В частности,
0=010=\frac01, поэтому f(0)=1f(0)=1, что также отражено на графике.
Теперь пусть a∉Qa\notin\mathbb Q, тогда f(a)=0f(a)=0. Возьмём
ε>0\varepsilon>0 и выберем N∈NN\in\mathbb N так, чтобы1N<ε\frac1N<\varepsilonНа отрезке [a−1,a+1][a-1,a+1] имеется лишь конечное число несократимых
рациональных дробей со знаменателями n⩽Nn\leqslant N: для каждого из
конечного числа знаменателей числитель ограничен. Обозначим множество
этих дробей через FNF_N. Поскольку a∉FNa\notin F_N, можно выбрать0<δ<min⁡{1,min⁡r∈FN∣a−r∣}0<\delta<\min\left\{1,\min_{r\in F_N}|a-r|\right\}Если ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta, то либо xx иррационально и f(x)=0f(x)=0, либо
x=mnx=\frac mn в несократимом виде и обязательно n>Nn>N. Во втором
случае∣f(x)−f(a)∣=1n<1N<ε|f(x)-f(a)|=\frac1n<\frac1N<\varepsilonСледовательно, функция непрерывна в каждой иррациональной точке.

Построение графика

Показываем конечный фрагмент «попкорн-графика».
Для рациональной точки mn\frac mn высота равна 1n\frac1n; на рисунке
нанесены
все такие точки со знаменателями 1⩽n⩽91\leqslant n\leqslant9 в выбранном
окне. Не показанные точки с большими знаменателями лежат ещё ближе к оси
OxOx. Иррациональные точки на оси отмечены приближёнными абсциссами
заранее выбранных иррациональных чисел из задачи . Точки не соединяем.график к задаче Демидовича № 736

Что и требовалось доказать

Демидович № 736 — решение | Высшая математика — Профиматика