Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 754

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 754

Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются
точками разрыва 1-го рода.
Доказано:Все точки разрыва ограниченной монотонной функции имеют конечные односторонние пределы и являются разрывами первого рода.

Доказательство

Рассмотрим сначала неубывающую функцию ff и внутреннюю точку x0x_0 её промежутка определения. ПоложимL=sup⁡x<x0f(x),R=inf⁡x>x0f(x),L=\sup_{x<x_0}f(x),\qquad R=\inf_{x>x_0}f(x),где берутся только точки из области определения. Оба множества непусты, а ограниченность ff гарантирует конечность LL и RR.
Докажем, что f(x)→Lf(x)\to L при x→x0−x\to x_0-. Для любого ε>0\varepsilon>0 по свойству точной верхней грани найдётся u<x0u<x_0 с f(u)>L−εf(u)>L-\varepsilon. При u<x<x0u<x<x_0 монотонность даётL−ε<f(u)⩽f(x)⩽L.L-\varepsilon<f(u)\leqslant f(x)\leqslant L.Это и есть требуемое приближение к LL слева.
Для правого предела выбираем v>x0v>x_0 с f(v)<R+εf(v)<R+\varepsilon. При x0<x<vx_0<x<v имеемR⩽f(x)⩽f(v)<R+ε.R\leqslant f(x)\leqslant f(v)<R+\varepsilon.Значит, f(x)→Rf(x)\to R при x→x0+x\to x_0+.

Кроме того, монотонность даёт L⩽f(x0)⩽RL\leqslant f(x_0)\leqslant R. Если L=RL=R, оба предела совпадают с f(x0)f(x_0), и функция непрерывна. Если точка является точкой разрыва, то L<RL<R: это скачок с конечными односторонними пределами, то есть разрыв первого рода.

В конце промежутка существует соответствующий конечный односторонний предел, что доказывается той же приведённой оценкой с доступной стороны. Для невозрастающей функции применяем доказанное к −f-f; умножение на −1-1 сохраняет существование и конечность пределов.

Что и требовалось доказать

Демидович № 754 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика