Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 754

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 754

Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются
точками разрыва 1-го рода.

Доказательство

Идея

Для определённости рассмотрим неубывающую функцию ff. Пусть x0x_0
— внутренняя точка её промежутка определения. Тогда существуют
односторонние пределыf(x0−)=sup⁡x<x0f(x),f(x0+)=inf⁡x>x0f(x)f(x_0^-)=\sup_{x<x_0}f(x),
\qquad
f(x_0^+)=\inf_{x>x_0}f(x)Действительно, при приближении к x0x_0 слева значения функции
монотонно приближаются к своей точной верхней грани, а справа — к
точной нижней грани. Ограниченность функции гарантирует, что оба предела
конечны. Для невозрастающей функции доказательство проводится
аналогично с перестановкой верхней и нижней граней.

Проверка

Следовательно, в каждой точке существуют конечные односторонние пределы.
Если функция в этой точке разрывна, то по определению это разрыв первого
рода. В граничной точке промежутка используется соответствующий
односторонний предел.

Что и требовалось доказать

Демидович № 754 — решение