Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 749

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что если функции

f(x)

g(x)

непрерывны, то функции

\varphi(x)=\min[f(x),g(x)] \quad\text{и}\quad \psi(x)=\max[f(x),g(x)]

также непрерывны.

Опирается на

Доказано:Функции

\min[f(x),g(x)]

\max[f(x),g(x)]

непрерывны в каждой точке, где непрерывны обе функции

f

g

Доказательство

Используем тождества

\min(u,v)=\frac{u+v-|u-v|}{2}

\max(u,v)=\frac{u+v+|u-v|}{2}

Подставляя

u=f(x)

v=g(x)

, получаем

\varphi(x)=\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}

\psi(x)=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}

Сумма и разность непрерывных функций непрерывны, а модуль непрерывной
функции непрерывен по задаче №. Поэтому обе полученные функции
непрерывны.

Что и требовалось доказать