Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 749

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 749

Доказать, что если функции f(x)f(x) и g(x)g(x) непрерывны, то функцииφ(x)=min⁡[f(x),g(x)]иψ(x)=max⁡[f(x),g(x)]\varphi(x)=\min[f(x),g(x)]
\quad\text{и}\quad
\psi(x)=\max[f(x),g(x)]также непрерывны.

Опирается на задачу 746

Доказано:Функции min⁡[f(x),g(x)]\min[f(x),g(x)] и max⁡[f(x),g(x)]\max[f(x),g(x)]
непрерывны в каждой точке, где непрерывны обе функции ff и gg.

Доказательство

Используем тождестваmin⁡(u,v)=u+v−∣u−v∣2\min(u,v)=\frac{u+v-|u-v|}{2}max⁡(u,v)=u+v+∣u−v∣2\max(u,v)=\frac{u+v+|u-v|}{2}Подставляя u=f(x)u=f(x), v=g(x)v=g(x), получаемφ(x)=f(x)+g(x)−∣f(x)−g(x)∣2\varphi(x)=\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}ψ(x)=f(x)+g(x)+∣f(x)−g(x)∣2\psi(x)=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}Сумма и разность непрерывных функций непрерывны, а модуль непрерывной
функции непрерывен по задаче №746. Поэтому обе полученные функции
непрерывны.

Что и требовалось доказать

Демидович № 749 — решение и ответ