Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2006

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin^4x}{\cos^6x}\,dx

Ответ:

\dfrac{\tg^5x}{5}+C

Решение

Перепишем подынтегральное выражение в виде

\tg^4x\,\dfrac{dx}{\cos^2x}

. При замене

t=\tg x

имеем

dt=\dfrac{dx}{\cos^2x}

, откуда

\int\dfrac{\sin^4x}{\cos^6x}\,dx=\int t^4\,dt=\dfrac{t^5}{5}+C=\dfrac{\tg^5x}{5}+C

Формула применяется на каждом промежутке, на котором

\cos x\ne0