Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2026

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(2+\cos x)\sin x}

Ответ:

\dfrac13\ln\left|\tg\dfrac{x}{2}\right|+\dfrac13\ln\left(3+\tg^2\dfrac{x}{2}\right)+C

Решение

Положим

t=\tg\dfrac{x}{2}

. Тогда

\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}

Подстановка и разложение на простейшие дроби дают

I=\int\dfrac{1+t^2}{t(t^2+3)}\,dt=\int\left(\dfrac1{3t}+\dfrac{2t}{3(t^2+3)}\right)dt

Следовательно,

I=\dfrac13\ln|t|+\dfrac13\ln(t^2+3)+C

Здесь

t=\tg\dfrac{x}{2}

. Исходная функция определена при

x\notin\pi\mathbb Z