Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2004

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2004

∫tg⁡5x dx\displaystyle\int\tg^5x\,dx.
Ответ:14tg⁡4x−12tg⁡2x−ln⁡∣cos⁡x∣+C,x≠π2+πk,k∈Z\begin{aligned}
&\dfrac{1}{4}\tg^4x-\dfrac{1}{2}\tg^2x
-\ln|\cos x|+C,
&\qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Функция tg⁡x\tg x определена приx≠π2+πk,k∈Zx\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k,
\qquad k\in\mathbb ZПоложимt=tg⁡x,dt=(1+t2) dxt=\tg x,
\qquad
dt=(1+t^2)\,dxПосле деления многочленов имеемt51+t2=t3−t+t1+t2\dfrac{t^5}{1+t^2}
=t^3-t+\dfrac{t}{1+t^2}Поэтому∫tg⁡5x dx=∫t51+t2 dt==t44−t22+12ln⁡(1+t2)+C\begin{aligned}
\int\tg^5x\,dx
&=\int\dfrac{t^5}{1+t^2}\,dt=\\
&=\dfrac{t^4}{4}-\dfrac{t^2}{2}
+\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2)+C
\end{aligned}Поскольку12ln⁡(1+tg⁡2x)=12ln⁡1cos⁡2x=−ln⁡∣cos⁡x∣\dfrac{1}{2}\ln(1+\tg^2x)
=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1}{\cos^2x}
=-\ln|\cos x|окончательно получаем∫tg⁡5x dx=14tg⁡4x−12tg⁡2x−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int\tg^5x\,dx
=\dfrac{1}{4}\tg^4x-\dfrac{1}{2}\tg^2x
-\ln|\cos x|+C
Демидович № 2004 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика