Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2002

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^3x\cos^5x}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{4}\tg^4x+\dfrac{3}{2}\tg^2x -\dfrac{1}{2}\ctg^2x+3\ln|\tg x|+C, &\qquad x\ne\dfrac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Область определения задаётся условиями

\sin x\ne0, \qquad \cos x\ne0

То есть

x\ne\dfrac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z

Положим

t=\tg x

. Тогда

dt=(1+t^2)\,dx

, а

\sin^3x\cos^5x =\tg^3x\cos^8x =\dfrac{t^3}{(1+t^2)^4}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin^3x\cos^5x} &=\int\dfrac{(1+t^2)^3}{t^3}\,dt=\\ &=\int\left( \dfrac{1}{t^3}+\dfrac{3}{t}+3t+t^3 \right)dt=\\ &=-\dfrac{1}{2t^2}+3\ln|t| +\dfrac{3}{2}t^2+\dfrac{1}{4}t^4+C\end{aligned}

Так как

t\ne0

, логарифм допустим. Возвращаясь к

x

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin^3x\cos^5x} &=\dfrac{1}{4}\tg^4x+\dfrac{3}{2}\tg^2x -\dfrac{1}{2}\ctg^2x+3\ln|\tg x|+C\end{aligned}