Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1991

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1991

\displaystyle\int\cos^5x\,dx

Ответ:

\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{5}\sin^5 x + C

Решение

Основная идея для решений интегралов, когда содержится только синус или только косинус в нечетной степени, состоит в том, чтобы отделить один множитель и использовать в дальнейшем основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить оставшуюся чётную степень через противоположную функцию. Затем делаем замену переменной.

Выделим один множитель

\cos x

для последующей замены:

\int \cos^5 x \, dx = \int \cos^4 x \cdot \cos x \ dx

Теперь используем основное тригонометрическое тождество

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x

, чтобы выразить чётную степень косинуса через синус:

\int \cos^4 x \cdot \cos x \, dx = \int (\cos^2 x)^2 \cos x \, dx = \int (1 - \sin^2 x)^2 \cos x \, dx

Раскроем скобки, возведя в квадрат:

(1 - \sin^2 x)^2 = 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x

Получаем:

\int (1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x) \cos x \, dx

Осталось ввести соответствующую замену, чтобы избавиться от косинуса. Для этого введем переменную

u=\sin x

. Тогда получим

du = \cos x \, dx

, после чего наш интеграл сведется к следующему:

\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du

Почленно интегрируя, получаем функцию:

u - \frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{5}u^5 + C

Для получения итогового ответа остается лишь вернуться к исходной переменной

x

, сделав обратную замену

u=\sin x