Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2040

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(\sin^2x+2\cos^2x)^2}

Ответ:При

-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi

k\in\mathbb Z

\dfrac{3}{4\sqrt2}\left(\arctg\dfrac{\tg x}{\sqrt2}+k\pi\right)-\dfrac{\tg x}{4(\tg^2x+2)}+C.

В точках

x=\dfrac\pi2+k\pi

первообразная определяется непрерывным продолжением.

Решение

Знаменатель положителен при всех

x

, поэтому подынтегральная функция непрерывна на

\mathbb R

. На промежутке

-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi

положим

t=\tg x

. Тогда

I=\int\dfrac{1+t^2}{(t^2+2)^2}\,dt=\int\dfrac{dt}{t^2+2}-\int\dfrac{dt}{(t^2+2)^2}.

Используя стандартные первообразные, получаем

I=\dfrac{3}{4\sqrt2}\arctg\dfrac t{\sqrt2}-\dfrac{t}{4(t^2+2)}+C.

Рациональное слагаемое непрерывно продолжается через полюсы тангенса нулём, а ветвь арктангенса необходимо согласовать. Поэтому

I=\dfrac{3}{4\sqrt2}\left(\arctg\dfrac{\tg x}{\sqrt2}+k\pi\right)-\dfrac{\tg x}{4(\tg^2x+2)}+C.

В граничных точках формула продолжается по непрерывности.