Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2029

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin^2x}{1+\sin^2x}\,dx

Ответ:При

-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi

k\in\mathbb Z

x-\dfrac1{\sqrt2}\left(\arctg(\sqrt2\tg x)+k\pi\right)+C.

В точках

x=\dfrac\pi2+k\pi

первообразная определяется непрерывным продолжением.

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}=1-\dfrac1{1+\sin^2x}.

На промежутке

-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi

положим

t=\tg x

. Тогда

dt=\dfrac{dx}{\cos^2x}

\begin{aligned}I&=x-\int\dfrac{dx}{1+\sin^2x}=\\&=x-\int\dfrac{dt}{1+2t^2}=\\&=x-\dfrac1{\sqrt2}\arctg(\sqrt2\,t)+C.\end{aligned}

Исходная функция непрерывна на

\mathbb R

. Поэтому ветви арктангенса необходимо согласовать:

I=x-\dfrac1{\sqrt2}\left(\arctg(\sqrt2\tg x)+k\pi\right)+C,\qquad-\dfrac\pi2+k\pi<x<\dfrac\pi2+k\pi.

В граничных точках формула продолжается по непрерывности.