Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2036

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin^2x\cos^2x}{\sin^8x+\cos^8x}\,dx

Ответ:Пусть

A=\dfrac{1-\sqrt2}{2\sqrt{4-2\sqrt2}},\qquadB=\dfrac{1+\sqrt2}{2\sqrt{4+2\sqrt2}}.

При

-\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2<x<\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2

k\in\mathbb Z

\begin{aligned}&A\left(\arctg\dfrac{\tg2x}{\sqrt{4-2\sqrt2}}+k\pi\right)+\\&\quad+B\left(\arctg\dfrac{\tg2x}{\sqrt{4+2\sqrt2}}+k\pi\right)+C.\end{aligned}

В граничных точках первообразная определяется непрерывным продолжением.

Решение

Знаменатель положителен при всех

x

, поэтому область определения —

\mathbb R

. Используем тождества

\sin^2x\cos^2x=\dfrac14\sin^22x,\qquad\sin^8x+\cos^8x=1-\sin^22x+\dfrac18\sin^42x.

На промежутке

-\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2<x<\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2

положим

u=\tg2x

. Тогда

I=\int\dfrac{u^2\,du}{u^4+8u^2+8}.

Разложим знаменатель и дробь:

u^4+8u^2+8=(u^2+4-2\sqrt2)(u^2+4+2\sqrt2),

\dfrac{u^2}{u^4+8u^2+8}=\dfrac{1-\sqrt2}{2(u^2+4-2\sqrt2)}+\dfrac{1+\sqrt2}{2(u^2+4+2\sqrt2)}.

Обозначим

A=\dfrac{1-\sqrt2}{2\sqrt{4-2\sqrt2}},\qquadB=\dfrac{1+\sqrt2}{2\sqrt{4+2\sqrt2}}.

Согласованная на всей числовой прямой первообразная имеет вид

\begin{aligned}I={}&A\left(\arctg\dfrac{\tg2x}{\sqrt{4-2\sqrt2}}+k\pi\right)+\\&+B\left(\arctg\dfrac{\tg2x}{\sqrt{4+2\sqrt2}}+k\pi\right)+C.\end{aligned}

В точках

x=\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2

формула продолжается по непрерывности.