Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2023

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2023

∫dxcos⁡x+cos⁡a\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x+\cos a}.
Ответ:При sin⁡a≠0\sin a\ne01sin⁡aln⁡∣cos⁡x−a2cos⁡x+a2∣+C\dfrac{1}{\sin a}
\ln\left|
\dfrac{\cos\dfrac{x-a}{2}}
{\cos\dfrac{x+a}{2}}
\right|+CПри sin⁡a=0\sin a=0, σ=cos⁡a∈{−1;1}\sigma=\cos a\in\{-1;1\}sin⁡x1+σcos⁡x+C\dfrac{\sin x}{1+\sigma\cos x}+CТочки cos⁡x=−cos⁡a\cos x=-\cos a исключаются; на разных промежутках области определения постоянные могут быть различными.

Решение

Область определения задаётся условиемcos⁡x+cos⁡a≠0\cos x+\cos a\ne0Если sin⁡a≠0\sin a\ne0, воспользуемся формулой суммы косинусов:cos⁡x+cos⁡a=2cos⁡x+a2cos⁡x−a2\cos x+\cos a
=2\cos\dfrac{x+a}{2}\cos\dfrac{x-a}{2}При этомtg⁡x+a2−tg⁡x−a2=sin⁡acos⁡x+a2cos⁡x−a2\tg\dfrac{x+a}{2}-\tg\dfrac{x-a}{2}
=\dfrac{\sin a}
{\cos\dfrac{x+a}{2}\cos\dfrac{x-a}{2}}Поэтому1cos⁡x+cos⁡a=12sin⁡a(tg⁡x+a2−tg⁡x−a2)\dfrac{1}{\cos x+\cos a}
=\dfrac{1}{2\sin a}\left(
\tg\dfrac{x+a}{2}-\tg\dfrac{x-a}{2}
\right)Интегрируя почленно, получаем∫dxcos⁡x+cos⁡a=1sin⁡aln⁡∣cos⁡x−a2cos⁡x+a2∣+C\int\dfrac{dx}{\cos x+\cos a}
=\dfrac{1}{\sin a}
\ln\left|
\dfrac{\cos\dfrac{x-a}{2}}
{\cos\dfrac{x+a}{2}}
\right|+CПри sin⁡a=0\sin a=0 имеем σ=cos⁡a∈{−1;1}\sigma=\cos a\in\{-1;1\}. Непосредственно проверяется, чтоddx(sin⁡x1+σcos⁡x)=cos⁡x(1+σcos⁡x)+σsin⁡2x(1+σcos⁡x)2==cos⁡x+σ(1+σcos⁡x)2=1cos⁡x+σ\begin{aligned}
\dfrac{d}{dx}\left(
\dfrac{\sin x}{1+\sigma\cos x}
\right)
&=\dfrac{\cos x(1+\sigma\cos x)+\sigma\sin^2x}
{(1+\sigma\cos x)^2}=\\
&=\dfrac{\cos x+\sigma}{(1+\sigma\cos x)^2}
=\dfrac{1}{\cos x+\sigma}
\end{aligned}Здесь учтено, что 1+σcos⁡x=σ(cos⁡x+σ)1+\sigma\cos x=\sigma(\cos x+\sigma) и σ2=1\sigma^2=1.
Демидович № 2023 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика