Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2010

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2010

∫dxtg⁡x3\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}.
Ответ:12ln⁡(t2+1)−14ln⁡(t4−t2+1)+32arctg⁡2t2−13+C,t=tg⁡x3,x≠πk2,k∈Z\begin{aligned}
&\dfrac{1}{2}\ln(t^2+1)
-\dfrac{1}{4}\ln(t^4-t^2+1)
+\dfrac{\sqrt3}{2}\arctg\dfrac{2t^2-1}{\sqrt3}+C,
&\qquad
t=\sqrt[3]{\tg x},
\qquad
x\ne\dfrac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Действительный кубический корень допускает любой знак tg⁡x\tg x, но знаменатель не должен обращаться в нуль. Поэтомуsin⁡x≠0,cos⁡x≠0\sin x\ne0,
\qquad
\cos x\ne0То естьx≠πk2,k∈Zx\ne\dfrac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb ZПоложимt=tg⁡x3t=\sqrt[3]{\tg x}Тогда t≠0t\ne0, tg⁡x=t3\tg x=t^3 и3t2 dt=(1+t6) dx3t^2\,dt=(1+t^6)\,dxСледовательно,∫dxtg⁡x3=3∫t dt1+t6\int\dfrac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}
=3\int\dfrac{t\,dt}{1+t^6}Положим u=t2u=t^2, du=2t dtdu=2t\,dt. Получаем∫dxtg⁡x3=32∫duu3+1\int\dfrac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}
=\dfrac{3}{2}\int\dfrac{du}{u^3+1}Так как u3+1=(u+1)(u2−u+1)u^3+1=(u+1)(u^2-u+1), ищем разложение1u3+1=Au+1+Bu+Du2−u+1\dfrac{1}{u^3+1}
=\dfrac{A}{u+1}+\dfrac{Bu+D}{u^2-u+1}После умножения на u3+1u^3+1 и сравнения коэффициентов имеем{A+B=0−A+B+D=0A+D=1\begin{cases}
A+B=0\\
-A+B+D=0\\
A+D=1
\end{cases}ОтсюдаA=13,B=−13,D=23A=\dfrac{1}{3},
\qquad
B=-\dfrac{1}{3},
\qquad
D=\dfrac{2}{3}Поэтому321u3+1=12(u+1)+−u2+1u2−u+1\begin{aligned}
\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{u^3+1}
&=\dfrac{1}{2(u+1)}
+\dfrac{-\dfrac{u}{2}+1}{u^2-u+1}
\end{aligned}Представим числитель второй дроби и дополним квадрат:−u2+1=−14(2u−1)+34u2−u+1=(u−12)2+34\begin{aligned}
-\dfrac{u}{2}+1
&=-\dfrac{1}{4}(2u-1)+\dfrac{3}{4}\\
u^2-u+1
&=\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}
\end{aligned}Интегрируя, находим∫dxtg⁡x3=12ln⁡(u+1)−14ln⁡(u2−u+1)+32arctg⁡2u−13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}
&=\dfrac{1}{2}\ln(u+1)
-\dfrac{1}{4}\ln(u^2-u+1)+\dfrac{\sqrt3}{2}
\arctg\dfrac{2u-1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}Здесь u=t2>0u=t^2>0, поэтому аргументы обоих логарифмов положительны. Возвращаясь к t=tg⁡x3t=\sqrt[3]{\tg x}, получаем∫dxtg⁡x3=12ln⁡(t2+1)−14ln⁡(t4−t2+1)+32arctg⁡2t2−13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{\sqrt[3]{\tg x}}
&=\dfrac{1}{2}\ln(t^2+1)
-\dfrac{1}{4}\ln(t^4-t^2+1)+\dfrac{\sqrt3}{2}\arctg\dfrac{2t^2-1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}
Демидович № 2010 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика