Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2003

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x\cos^4x}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{3\cos^3x}+\dfrac{1}{\cos x} -\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}+C, &\qquad x\ne\dfrac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

В знаменателе находятся

\sin x

\cos^4x

, поэтому

x\ne\dfrac{\pi k}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

Положим

u=\cos x, \qquad du=-\sin x\,dx

Отсюда

dx=-\dfrac{du}{\sin x}, \qquad \sin^2x=1-\cos^2x=1-u^2

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{dx}{\sin x\cos^4x} &=-\dfrac{du}{u^4\sin^2x} =-\dfrac{du}{u^4(1-u^2)}\\ \int\dfrac{dx}{\sin x\cos^4x} &=-\int\dfrac{du}{u^4(1-u^2)}\end{aligned}

Используем тождественное разложение

\dfrac{1}{u^4(1-u^2)} =\dfrac{1}{u^4}+\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{1-u^2}

Действительно,

1=(1-u^2)+u^2(1-u^2)+u^4

Тогда

\begin{aligned} -\int\dfrac{du}{u^4(1-u^2)} &=\dfrac{1}{3u^3}+\dfrac{1}{u} -\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+u}{1-u}\right|+C\end{aligned}

На рассматриваемой области

-1<u<1

, поэтому

1-u>0

1+u>0

. Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin x\cos^4x} &=\dfrac{1}{3\cos^3x}+\dfrac{1}{\cos x} -\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}+C\end{aligned}