Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1996

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1996

∫sin⁡5xcos⁡5x dx\displaystyle\int\sin^5x\cos^5x\,dx.
Ответ:16sin⁡6x−14sin⁡8x+110sin⁡10x+C\frac{1}{6}\sin^6 x - \frac{1}{4}\sin^8 x + \frac{1}{10}\sin^{10} x + C

Решение

Для решения задачи в случае, когда оба показателя степени нечетные, можно отделить один из множителей под замену переменной ( как в номерах 1991 и 1995). Оставшуюся функцию с четным показателем через основное тригонометрическое тождество после этого сможем свести к другой.

Отделяем один множитель cos⁡x\cos x для последующей замены:∫sin⁡5xcos⁡5x dx=∫sin⁡5xcos⁡4x⋅cos⁡x dx\int \sin^5 x \cos^5 x \, dx = \int \sin^5 x \cos^4 x \cdot \cos x \, dxИспользуем основное тригонометрическое тождество cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x, чтобы выразить чётную степень косинуса через синус:cos⁡4x=(cos⁡2x)2=(1−sin⁡2x)2\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (1 - \sin^2 x)^2Интеграл примет следующий вид:∫sin⁡5x⋅(1−sin⁡2x)2⋅cos⁡x dx\int \sin^5 x \cdot (1 - \sin^2 x)^2 \cdot \cos x \, dxВведём замену переменной u=sin⁡xu = \sin x. Тогда du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx, а интеграл будет выглядеть следующим образом:∫u5(1−u2)2 du\int u^5 (1 - u^2)^2 \, duРаскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:(1−u2)2=1−2u2+u4(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4\\Итоговое подынтегральное выражение:u5(1−2u2+u4)=u5−2u7+u9u^5 (1 - 2u^2 + u^4) = u^5 - 2u^7 + u^9Интегрируем почленно:∫(u5−2u7+u9) du=16u6−14u8+110u10+C\int (u^5 - 2u^7 + u^9) \, du = \frac{1}{6}u^6 - \frac{1}{4}u^8 + \frac{1}{10}u^{10} + CОсталось вернуться к исходной переменной xx, подставив u=sin⁡xu = \sin x.
Демидович № 1996 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика