Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2022

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2022

∫dxsin⁡x−sin⁡a\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x-\sin a}.
Ответ:При cos⁡a≠0\cos a\ne01cos⁡aln⁡∣sin⁡x−a2cos⁡x+a2∣+C\dfrac{1}{\cos a}
\ln\left|
\dfrac{\sin\dfrac{x-a}{2}}
{\cos\dfrac{x+a}{2}}
\right|+CПри cos⁡a=0\cos a=0, σ=sin⁡a∈{−1;1}\sigma=\sin a\in\{-1;1\}−cos⁡x1−σsin⁡x+C-\dfrac{\cos x}{1-\sigma\sin x}+CТочки sin⁡x=sin⁡a\sin x=\sin a исключаются; на разных промежутках области определения постоянные могут быть различными.

Решение

Сначала укажем область определения:sin⁡x−sin⁡a≠0\sin x-\sin a\ne0При cos⁡a≠0\cos a\ne0 применим формулу разности синусов:sin⁡x−sin⁡a=2cos⁡x+a2sin⁡x−a2\sin x-\sin a
=2\cos\dfrac{x+a}{2}\sin\dfrac{x-a}{2}Кроме того,ctg⁡x−a2+tg⁡x+a2=cos⁡x−a2cos⁡x+a2+sin⁡x−a2sin⁡x+a2sin⁡x−a2cos⁡x+a2==cos⁡asin⁡x−a2cos⁡x+a2\begin{aligned}
\ctg\dfrac{x-a}{2}+\tg\dfrac{x+a}{2}
&=\dfrac{
\cos\dfrac{x-a}{2}\cos\dfrac{x+a}{2}
+\sin\dfrac{x-a}{2}\sin\dfrac{x+a}{2}}
{\sin\dfrac{x-a}{2}\cos\dfrac{x+a}{2}}=\\
&=\dfrac{\cos a}
{\sin\dfrac{x-a}{2}\cos\dfrac{x+a}{2}}
\end{aligned}Следовательно,1sin⁡x−sin⁡a=12cos⁡a(ctg⁡x−a2+tg⁡x+a2)\dfrac{1}{\sin x-\sin a}
=\dfrac{1}{2\cos a}\left(
\ctg\dfrac{x-a}{2}+\tg\dfrac{x+a}{2}
\right)Почленное интегрирование даёт∫dxsin⁡x−sin⁡a=1cos⁡aln⁡∣sin⁡x−a2cos⁡x+a2∣+C\int\dfrac{dx}{\sin x-\sin a}
=\dfrac{1}{\cos a}
\ln\left|
\dfrac{\sin\dfrac{x-a}{2}}
{\cos\dfrac{x+a}{2}}
\right|+CТеперь пусть cos⁡a=0\cos a=0. Тогда σ=sin⁡a∈{−1;1}\sigma=\sin a\in\{-1;1\} иddx(−cos⁡x1−σsin⁡x)=sin⁡x(1−σsin⁡x)−σcos⁡2x(1−σsin⁡x)2==sin⁡x−σ(1−σsin⁡x)2=1sin⁡x−σ\begin{aligned}
\dfrac{d}{dx}\left(
-\dfrac{\cos x}{1-\sigma\sin x}
\right)
&=\dfrac{\sin x(1-\sigma\sin x)-\sigma\cos^2x}
{(1-\sigma\sin x)^2}=\\
&=\dfrac{\sin x-\sigma}{(1-\sigma\sin x)^2}
=\dfrac{1}{\sin x-\sigma}
\end{aligned}В последнем переходе использовано равенство 1−σsin⁡x=−σ(sin⁡x−σ)1-\sigma\sin x=-\sigma(\sin x-\sigma), где σ2=1\sigma^2=1.

Таким образом, этот случай также вычислен. Во всех формулах исключаются точки, в которых sin⁡x=sin⁡a\sin x=\sin a.
Демидович № 2022 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика