Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2019

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin(x+a)\sin(x+b)}

Ответ:

\begin{cases}\dfrac1{\sin (a-b)}\ln\left|\dfrac{\sin (x+b)}{\sin (x+a)}\right|+C,& \sin (a-b)\ne0\\[4mm] (-1)^{k+1}\ctg (x+a)+C,& a-b=k\pi,\quad k\in\mathbb Z\end{cases}

\sin (x+a)\sin (x+b)\ne0

Решение

Параметры

a

b

считаем вещественными постоянными. Работаем на отдельном промежутке области определения, где

\sin (x+a)\sin (x+b)\ne0

Используем указанное в условии тождество

\begin{aligned} \sin (a-b) &=\sin\bigl((x+a)-(x+b)\bigr)=\\ &=\sin (x+a)\cos (x+b) -\cos (x+a)\sin (x+b)\end{aligned}

Если

\sin (a-b)\ne0

, делим это равенство на

\sin (x+a)\sin (x+b)

\dfrac1{\sin (x+a)\sin (x+b)} =\dfrac{\ctg (x+b)-\ctg (x+a)}{\sin (a-b)}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin (x+a)\sin (x+b)} &=\dfrac1{\sin (a-b)} \bigl(\ln|\sin (x+b)|-\ln|\sin (x+a)|\bigr)+C=\\ &=\dfrac1{\sin (a-b)} \ln\left|\dfrac{\sin (x+b)}{\sin (x+a)}\right|+C\end{aligned}

Теперь рассмотрим пропущенный при делении случай

a-b=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z

Тогда

b=a-k\pi

\sin (x+b)=(-1)^k\sin (x+a)

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin (x+a)\sin (x+b)} &=(-1)^k\int\dfrac{dx}{\sin^2 (x+a)}=\\ &=(-1)^{k+1}\ctg (x+a)+C\end{aligned}

Во всех случаях работаем на каждом промежутке, где оба множителя знаменателя отличны от нуля; на разных промежутках постоянная

C

может принимать независимые значения.