Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 2034

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2034

∫sin⁡x dxsin⁡3x+cos⁡3x\displaystyle\int\frac{\sin x\,dx}{\sin^3x+\cos^3x}.
Ответ:−13ln⁡∣t+1∣+16ln⁡(t2−t+1)+13arctg⁡2t−13+C,t=tg⁡x,x≠−π4+πk,k∈Z\begin{aligned}
&-\dfrac{1}{3}\ln|t+1|
+\dfrac{1}{6}\ln(t^2-t+1)
+\dfrac{1}{\sqrt3}
\arctg\dfrac{2t-1}{\sqrt3}+C,
&\qquad t=\tg x,
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,
\quad k\in\mathbb Z
\end{aligned}На промежутках cos⁡x≠0\cos x\ne0 используется приведённая запись; через точки cos⁡x=0\cos x=0 первообразная продолжается соответствующим выбором постоянных. На разных компонентах исходной области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Разложим знаменатель:sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3x+\cos^3x
=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)Поскольку 1−sin⁡xcos⁡x⩾12>01-\sin x\cos x\geqslant\dfrac{1}{2}>0, область определения задаётся условиемsin⁡x+cos⁡x≠0,x≠−π4+πk,k∈Z\sin x+\cos x\ne0,
\qquad
x\ne-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,
\quad k\in\mathbb ZНа промежутке, где cos⁡x≠0\cos x\ne0, положимt=tg⁡x,dt=dxcos⁡2xt=\tg x,
\qquad
dt=\dfrac{dx}{\cos^2x}Тогда sin⁡x=tcos⁡x\sin x=t\cos x, поэтомуsin⁡x dx=tcos⁡3x dt,sin⁡3x+cos⁡3x=cos⁡3x(t3+1)\begin{aligned}
\sin x\,dx
&=t\cos^3x\,dt,\\
\sin^3x+\cos^3x
&=\cos^3x(t^3+1)
\end{aligned}Следовательно,∫sin⁡x dxsin⁡3x+cos⁡3x=∫t dtt3+1\begin{aligned}
\int\dfrac{\sin x\,dx}{\sin^3x+\cos^3x}
&=\int\dfrac{t\,dt}{t^3+1}
\end{aligned}Так как t3+1=(t+1)(t2−t+1)t^3+1=(t+1)(t^2-t+1), ищем разложениеtt3+1=At+1+Bt+Dt2−t+1\dfrac{t}{t^3+1}
=\dfrac{A}{t+1}
+\dfrac{Bt+D}{t^2-t+1}После умножения на t3+1t^3+1 и сравнения коэффициентов получаем{A+B=0,−A+B+D=1,A+D=0\begin{cases}
A+B=0,\\
-A+B+D=1,\\
A+D=0
\end{cases}ОтсюдаA=−13,B=13,D=13A=-\dfrac{1}{3},
\qquad
B=\dfrac{1}{3},
\qquad
D=\dfrac{1}{3}Следовательно,tt3+1=−13(t+1)+t+13(t2−t+1)\dfrac{t}{t^3+1}
=-\dfrac{1}{3(t+1)}
+\dfrac{t+1}{3(t^2-t+1)}Представим числитель второй дроби и дополним квадрат:t+1=12(2t−1)+32t2−t+1=(t−12)2+34\begin{aligned}
t+1=\dfrac{1}{2}(2t-1)+\dfrac{3}{2}\\
t^2-t+1=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}
\end{aligned}Интегрируя, находим∫t dtt3+1=−13ln⁡∣t+1∣+16ln⁡(t2−t+1)+13arctg⁡2t−13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{t\,dt}{t^3+1}
&=-\dfrac{1}{3}\ln|t+1|
+\dfrac{1}{6}\ln(t^2-t+1)+\dfrac{1}{\sqrt3}
\arctg\dfrac{2t-1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}Здесь t2−t+1>0t^2-t+1>0. Возвращаясь к t=tg⁡xt=\tg x, получаем искомую первообразную. Точки cos⁡x=0\cos x=0 не исключаются исходным условием; через них формула продолжается выбором постоянных на соседних промежутках.
Демидович № 2034 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика