Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4

Демидович § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Условия, ответы и подробные решения задач 1991–2065

Задачи 1991–2065

75 из 75 с разбором

Найти интегралы:

Задача 2041

Найти интеграл∫dxasin⁡x+bcos⁡x,\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x},приведя знаменатель к логарифмическому виду.

Задача 2042

Доказать, что∫a1sin⁡x+b1cos⁡xasin⁡x+bcos⁡x dx=Ax+Bln⁡∣asin⁡x+bcos⁡x∣+C,\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{a\sin x+b\cos x}\,dx
=Ax+B\ln|a\sin x+b\cos x|+C,где AA, BB, CC --- постоянные.

Задача 2043

а) ∫sin⁡x−cos⁡xsin⁡x+2cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+2\cos x}\,dx;
б) ∫sin⁡xsin⁡x−3cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sin x-3\cos x}\,dx.

Задача 2044

∫dx3+5tg⁡x\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\tg x}.

Задача 2045

∫a1sin⁡x+b1cos⁡x(asin⁡x+bcos⁡x)3 dx\displaystyle\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^3}\,dx.

Задача 2046

Доказать, что∫a1sin⁡x+b1cos⁡x+c1asin⁡x+bcos⁡x+c dx=Ax+Bln⁡∣asin⁡x+bcos⁡x+c∣+C∫dxasin⁡x+bcos⁡x+c,\begin{aligned}
\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a\sin x+b\cos x+c}\,dx
&=Ax+B\ln|a\sin x+b\cos x+c|\\
&\quad+C\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x+c},
\end{aligned}где AA, BB, CC --- некоторые постоянные коэффициенты.

Задача 2047

∫sin⁡x+2cos⁡x−3sin⁡x−2cos⁡x+3 dx\displaystyle\int\frac{\sin x+2\cos x-3}{\sin x-2\cos x+3}\,dx.

Задача 2048

∫sin⁡x2+sin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sqrt2+\sin x+\cos x}\,dx.

Задача 2049

∫2sin⁡x+cos⁡x3sin⁡x+4cos⁡x−2 dx\displaystyle\int\frac{2\sin x+\cos x}{3\sin x+4\cos x-2}\,dx.

Задача 2050

Доказать, что∫a1sin⁡2x+2b1sin⁡xcos⁡x+c1cos⁡2xasin⁡x+bcos⁡x dx=Asin⁡x+Bcos⁡x+C∫dxasin⁡x+bcos⁡x,\begin{aligned}
\int\frac{a_1\sin^2x+2b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2x}{a\sin x+b\cos x}\,dx
&=A\sin x+B\cos x\\
&\quad+C\int\frac{dx}{a\sin x+b\cos x},
\end{aligned}где AA, BB, CC --- постоянные коэффициенты.

Задача 2051

∫sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xsin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x}{\sin x+\cos x}\,dx.

Задача 2052

∫sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+2cos⁡2xsin⁡x+2cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin^2x-\sin x\cos x+2\cos^2x}{\sin x+2\cos x}\,dx.

Задача 2053

Доказать, что если (a−c)2+b2≠0(a-c)^2+b^2\ne0, то∫a1sin⁡x+b1cos⁡xasin⁡2x+2bsin⁡xcos⁡x+ccos⁡2x dx=A∫du1k1u12+λ1+B∫du2k2u22+λ2,\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{a\sin^2x+2b\sin x\cos x+c\cos^2x}\,dx
=A\int\frac{du_1}{k_1u_1^2+\lambda_1}
+B\int\frac{du_2}{k_2u_2^2+\lambda_2},где AA, BB --- неопределённые коэффициенты, λ1\lambda_1, λ2\lambda_2 --- корни уравнения∣a−λbbc−λ∣=0(λ1≠λ2),\begin{vmatrix}a-\lambda&b\\b&c-\lambda\end{vmatrix}=0
\quad(\lambda_1\ne\lambda_2),ui=(a−λi)sin⁡x+bcos⁡xu_i=(a-\lambda_i)\sin x+b\cos x и ki=1a−λik_i=\dfrac1{a-\lambda_i} (i=1,2)(i=1,2).

Задача 2054

∫2sin⁡x−cos⁡x3sin⁡2x+4cos⁡2x dx\displaystyle\int\frac{2\sin x-\cos x}{3\sin^2x+4\cos^2x}\,dx.

Задача 2055

∫(sin⁡x+cos⁡x) dx2sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+5cos⁡2x\displaystyle\int\frac{(\sin x+\cos x)\,dx}{2\sin^2x-4\sin x\cos x+5\cos^2x}.

Задача 2056

∫sin⁡x−2cos⁡x1+4sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x-2\cos x}{1+4\sin x\cos x}\,dx.

Задача 2057

Доказать, что∫dx(asin⁡x+bcos⁡x)n=Asin⁡x+Bcos⁡x(asin⁡x+bcos⁡x)n−1+C∫dx(asin⁡x+bcos⁡x)n−2,\int\frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^n}
=\frac{A\sin x+B\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}
+C\int\frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}},где AA, BB, CC --- неопределённые коэффициенты.

Задача 2058

Найти ∫dx(sin⁡x+2cos⁡x)3\displaystyle\int\frac{dx}{(\sin x+2\cos x)^3}.

Задача 2059

Доказать, что∫dx(a+bcos⁡x)n=Asin⁡x(a+bcos⁡x)n−1+B∫dx(a+bcos⁡x)n−1+C∫dx(a+bcos⁡x)n−2(∣a∣≠∣b∣),\begin{aligned}
\int\frac{dx}{(a+b\cos x)^n}
&=\frac{A\sin x}{(a+b\cos x)^{n-1}}
+B\int\frac{dx}{(a+b\cos x)^{n-1}}\\
&\quad+C\int\frac{dx}{(a+b\cos x)^{n-2}}
\quad(|a|\ne|b|),
\end{aligned}и определить коэффициенты AA, BB и CC, если nn --- натуральное число, большее единицы.

Задача 2060

∫sin⁡x dxcos⁡x1+sin⁡2x\displaystyle\int\frac{\sin x\,dx}{\cos x\sqrt{1+\sin^2x}}.

Задача 2061

∫sin⁡2xcos⁡2xtg⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin^2x}{\cos^2x\sqrt{\tg x}}\,dx.

Задача 2062

∫sin⁡x dx2+sin⁡2x\displaystyle\int\frac{\sin x\,dx}{\sqrt{2+\sin2x}}.

Задача 2063

∫dx(1+εcos⁡x)2\displaystyle\int\frac{dx}{(1+\varepsilon\cos x)^2} (0<ε<1)(0<\varepsilon<1).

Задача 2064

∫cos⁡n−1x+a2sin⁡n+1x−a2 dx\displaystyle\int\frac{\cos^{n-1}\frac{x+a}{2}}{\sin^{n+1}\frac{x-a}{2}}\,dx.

Задача 2065

Вывести формулу понижения для интегралаIn=∫(sin⁡x−a2sin⁡x+a2)n dxI_n=\int\left(\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\sin\frac{x+a}{2}}\right)^n\,dx(nn --- натуральное число).

Задачи 51–75 из 75