Раздел III. Неопределённый интеграл — § 4. Интегрирование тригонометрических функций

Демидович — задача 1995

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 1995

\displaystyle\int\sin^4x\cos^5x\,dx

Ответ:

\frac{\sin^5 x}{5} - \frac{2\sin^7 x}{7} + \frac{\sin^9 x}{9} + C

Решение

В отличие от номера 1994, когда у обеих функций был четный показатель степени, сейчас мы можем видеть, что у одной из них он нечетный. Для решения такого типа интегралов, когда показатели различаются четностью, можно воспользоваться той же идеей, что и в номере 1991: "отщипнуть" один из множителей, чтобы сделать подходящую замену.

Отделим один множитель

\cos x

для последующей замены:

\int \sin^4 x \cos^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cos^4 x \cdot \cos x \, dx

Теперь используем основное тригонометрическое тождество

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x

, чтобы выразить чётную степень косинуса через синус:

\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (1 - \sin^2 x)^2

Введём замену переменной

u = \sin x

. Тогда

du = \cos x \, dx

, а интеграл примет следующий вид:

\int u^4 (1 - u^2)^2 \, du

Мы получили простой интеграл от многочлена. Остается только раскрыть скобки и проинтегрировать. Функция будет следующей:

u^4 (1 - 2u^2 + u^4) = u^4 - 2u^6 + u^8

Теперь интегрируем:

\int (u^4 - 2u^6 + u^8) \, du = \frac{u^5}{5} - \frac{2u^7}{7} + \frac{u^9}{9} + C

Для итогового ответа остается лишь выполнить обратную замену

u=\sin x